La contrainte budgétaire et le choix optimal

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• écrire et représenter la contrainte budgétaire d'un consommateur ;
• analyser l'effet d'une variation du revenu ou d'un prix sur la droite de budget ;
• énoncer et interpréter la condition d'optimum du consommateur ;
• calculer le panier optimal par substitution et par la méthode de Lagrange ;
• traiter le cas d'une solution « en coin ».

5.1 La contrainte budgétaire

Le consommateur ne choisit pas librement parmi tous les paniers : il est limité par son revenu $R$ et par les prix $p_x$ et $p_y$. Il ne peut acheter que les paniers dont le coût ne dépasse pas son budget :

$$p_x\,x + p_y\,y \leq R$$

Si l'on suppose qu'il dépense tout son revenu (non-saturation), il se place sur la droite de budget :

$$p_x\,x + p_y\,y = R \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{R}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}\,x$$

Exemple : Imane, étudiante à Rabat, partage un budget de $R = 120$ entre des repas au restaurant universitaire ($x$, au prix $p_x = 4$) et des trajets de tramway ($y$, au prix $p_y = 2$). Les montants sont simplifiés pour faciliter les calculs ; seul le raisonnement compte.

• Si elle n'achète que des repas : $x = 120 / 4 = 30$ (abscisse à l'origine).
• Si elle n'achète que des trajets : $y = 120 / 2 = 60$ (ordonnée à l'origine).
• Pente de la droite : $-p_x / p_y = -2$ : un repas de plus « coûte » deux trajets. C'est le prix relatif du bien $x$, le taux auquel le marché permet d'échanger un bien contre l'autre.

5.2 Les déplacements de la droite de budget

Changement	Effet sur la droite	Exemple (Imane)
Hausse du revenu	Déplacement parallèle vers l'extérieur	$R = 150$ : intercepts 37,5 et 75
Baisse du revenu	Déplacement parallèle vers l'intérieur
Baisse de $p_x$	Pivotement autour de l'ordonnée à l'origine, vers l'extérieur	$p_x = 2$ : abscisse 60, ordonnée inchangée 60
Hausse de $p_y$	Pivotement autour de l'abscisse à l'origine, vers l'intérieur
Hausse de tous les prix et du revenu dans la même proportion	Aucun changement	Le pouvoir d'achat réel est inchangé

5.3 La condition d'optimum

Le consommateur cherche la courbe d'indifférence la plus haute qui touche encore sa droite de budget. À l'optimum (pour des préférences convexes et une solution intérieure), la courbe d'indifférence est tangente à la droite de budget : leurs pentes sont égales.

$$TMS_{x,y} = \frac{Um_x}{Um_y} = \frac{p_x}{p_y}$$

Interprétation : le taux auquel le consommateur veut échanger $y$ contre $x$ (TMS) est égal au taux auquel le marché lui permet de le faire (prix relatif). Si le TMS était supérieur au prix relatif, il gagnerait à acheter plus de $x$ et moins de $y$, et inversement.

La même condition s'écrit :

$$\frac{Um_x}{p_x} = \frac{Um_y}{p_y}$$

C'est la seconde loi de Gossen : à l'optimum, le dernier dirham dépensé rapporte la même utilité, quel que soit le bien sur lequel il est dépensé.

5.4 Le calcul par substitution

Avec $U = xy$, $R = 120$, $p_x = 4$, $p_y = 2$ :

1. Condition d'optimum : $\dfrac{y}{x} = \dfrac{4}{2} \Rightarrow y = 2x$.
2. On remplace dans la contrainte : $4x + 2(2x) = 120 \Rightarrow 8x = 120 \Rightarrow x^* = 15$.
3. On en déduit $y^* = 30$ ; utilité maximale $U^* = 15 \times 30 = 450$.

Vérification : le panier $(10 ; 40)$ respecte aussi le budget ($40 + 80 = 120$) mais donne $U = 400 < 450$.

5.5 La méthode de Lagrange

On maximise $U(x, y)$ sous la contrainte $R - p_x x - p_y y = 0$ en formant le lagrangien :

$$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = xy + \lambda\,(120 - 4x - 2y)$$

Conditions du premier ordre :

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 4\lambda = 0 \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 2\lambda = 0 \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 120 - 4x - 2y = 0$$

Des deux premières : $y = 4\lambda$ et $x = 2\lambda$, donc $y = 2x$ ; on retrouve $x^* = 15$, $y^* = 30$ et $\lambda^* = 7{,}5$. Le multiplicateur $\lambda$ s'interprète comme l'utilité marginale du revenu : une unité de budget en plus augmenterait l'utilité d'environ 7,5.

5.6 Le raccourci Cobb-Douglas

Pour une fonction $U = x^{a}\,y^{b}$, le consommateur consacre toujours la même part de son revenu à chaque bien :

$$x^* = \frac{a}{a + b} \times \frac{R}{p_x} \qquad y^* = \frac{b}{a + b} \times \frac{R}{p_y}$$

Pour $U = xy$ ($a = b = 1$), Imane dépense la moitié de son budget en repas : $x^* = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{120}{4} = 15$. Ce raccourci permet de vérifier un résultat en quelques secondes, mais au partiel il faut montrer la démarche complète.

5.7 Les solutions en coin

Si les biens sont parfaitement substituables, la condition de tangence ne s'applique pas : le consommateur achète uniquement le bien qui donne le plus d'utilité par dirham. Avec $U = 2x + y$, $p_x = 5$, $p_y = 2$ : $\dfrac{Um_x}{p_x} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{Um_y}{p_y} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. Le bien $y$ est plus « rentable » : le consommateur dépense tout en $y$ ($x^* = 0$, $y^* = R / p_y$).

Pour des compléments parfaits $U = \min(x ; y)$, l'optimum est au coin des courbes en L : $x = y$, d'où $x^* = y^* = \dfrac{R}{p_x + p_y}$.

5.8 Méthode : trouver le panier optimal

1. Écrire la contrainte $p_x x + p_y y = R$.
2. Vérifier la forme des préférences (Cobb-Douglas, substituts, compléments).
3. Cas standard : poser $TMS = p_x / p_y$, exprimer $y$ en fonction de $x$, remplacer dans la contrainte.
4. Calculer $x^*$, $y^*$, $U^*$ ; vérifier que la dépense totale égale $R$.
5. Si demandé, utiliser Lagrange et interpréter $\lambda$.

Les pièges à éviter

• Inverser la pente de la droite de budget ($-p_y/p_x$ au lieu de $-p_x/p_y$).
• Écrire $TMS = p_y / p_x$.
• Oublier de vérifier que le panier trouvé épuise le budget.
• Appliquer la tangence à des substituts parfaits : il faut comparer les utilités marginales par dirham.
• Confondre un déplacement parallèle (revenu) et un pivotement (prix).