Le tableau entrées-sorties et le modèle de Leontief
Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :
- lire un tableau entrées-sorties (TES) symétrique : échanges intermédiaires, demande finale, valeur ajoutée ;
- calculer la matrice des coefficients techniques ;
- calculer la matrice inverse de Leontief et l'interpréter ;
- mesurer l'effet d'une variation de la demande finale sur la production, la valeur ajoutée et l'emploi de chaque branche ;
- discuter des hypothèses et des usages du modèle.
7.1 Le tableau entrées-sorties
Le tableau entrées-sorties (TES), mis au point par Wassily Leontief dans les années 1930 (prix Nobel 1973), décrit les échanges entre branches. Dans sa version symétrique (branche × branche), il a trois quadrants :
| Branche 1 | Branche 2 | Demande finale | Production | |
|---|---|---|---|---|
| Branche 1 | $x_{11}$ | $x_{12}$ | $Y_1$ | $X_1$ |
| Branche 2 | $x_{21}$ | $x_{22}$ | $Y_2$ | $X_2$ |
| Valeur ajoutée | $VA_1$ | $VA_2$ | ||
| Production | $X_1$ | $X_2$ |
- En ligne, on lit les débouchés de chaque branche : sa production $X_i$ est vendue aux autres branches (consommations intermédiaires $x_{ij}$) ou à la demande finale $Y_i$ (consommation, investissement, exportations) : $X_i = \sum_j x_{ij} + Y_i$.
- En colonne, on lit les coûts de chaque branche : sa production $X_j$ est égale à ses achats intermédiaires plus sa valeur ajoutée : $X_j = \sum_i x_{ij} + VA_j$.
Le tableau vérifie : $\sum_j VA_j = \sum_i Y_i$ (dans une économie fermée, la valeur ajoutée totale est égale à la demande finale totale : c'est le PIB).
Lecture d'un exemple. Si la ligne « industries alimentaires » indique 40 de ventes à la branche hôtellerie-restauration et 260 de demande finale, et la colonne de cette même branche 120 d'achats agricoles et 90 de valeur ajoutée, on sait à la fois à qui elle vend (surtout aux ménages) et ce qu'elle achète (surtout des produits agricoles). Le TES fait ainsi apparaître les filières de l'économie : agroalimentaire, textile, automobile, phosphates et engrais.
7.2 Les coefficients techniques
Définition — Coefficient technique : $a_{ij} = \dfrac{x_{ij}}{X_j}$, quantité de produit $i$ nécessaire pour produire une unité de produit $j$.
La matrice $A = (a_{ij})$ décrit la technologie de l'économie. Une colonne de $A$ est la « recette » de fabrication d'une branche. Le coefficient de valeur ajoutée de la branche $j$ est $v_j = VA_j / X_j = 1 - \sum_i a_{ij}$.
L'équation des lignes devient, sous forme matricielle :
$$X = AX + Y$$
7.3 La matrice inverse de Leontief
On résout l'équation précédente pour obtenir la production nécessaire pour satisfaire une demande finale donnée :
$$\boxed{X = (I - A)^{-1}\,Y}$$
La matrice $L = (I - A)^{-1}$ est la matrice inverse de Leontief. Son élément $l_{ij}$ indique la production de la branche $i$ nécessaire, directement et indirectement, pour livrer une unité de demande finale du produit $j$.
Pourquoi « indirectement » ? Pour livrer une voiture, la branche automobile achète de l'acier ; la sidérurgie, pour produire cet acier, achète de l'énergie ; la branche énergie achète elle-même des équipements, etc. La matrice inverse additionne tous ces effets en chaîne :
$$(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \ldots$$
Pour une matrice $2 \times 2$, $(I - A)^{-1} = \dfrac{1}{\det(I - A)} \begin{pmatrix} 1 - a_{22} & a_{12} \\ a_{21} & 1 - a_{11} \end{pmatrix}$, avec $\det(I - A) = (1 - a_{11})(1 - a_{22}) - a_{12}a_{21}$.
Le système a une solution positive si les conditions de Hawkins-Simon sont respectées : les mineurs principaux de $I - A$ sont positifs. Économiquement, chaque branche doit produire plus qu'elle ne consomme de facteurs intermédiaires.
7.4 Les multiplicateurs
- Multiplicateur de production de la branche $j$ : somme de la colonne $j$ de $L$, $\sum_i l_{ij}$. C'est la production totale de l'économie engendrée par 1 DH de demande finale adressée à la branche $j$. Les branches très intégrées (qui achètent beaucoup aux autres branches résidentes) ont un multiplicateur élevé.
- Effet sur la valeur ajoutée : $\Delta VA = v' \, \Delta X$, où $v$ est le vecteur des coefficients de valeur ajoutée.
- Effet sur l'emploi : avec des coefficients d'emploi $e_j = $ emplois / production, $\Delta \text{Emploi} = e' \, \Delta X$.
Dans une économie ouverte, une partie des consommations intermédiaires est importée : on utilise alors une matrice des coefficients domestiques, et les multiplicateurs sont plus faibles (les effets d'entraînement « fuient » vers l'étranger). C'est un enjeu de l'intégration industrielle : augmenter le taux d'intégration locale d'une filière (automobile, aéronautique) accroît l'effet de ses exportations sur la production et l'emploi nationaux.
7.5 Hypothèses et usages
Le modèle repose sur des hypothèses fortes :
- coefficients fixes : pas de substitution entre consommations intermédiaires, rendements d'échelle constants (une technologie de Leontief, au sens du cours de microéconomie) ;
- chaque branche produit un seul produit ;
- les capacités de production sont suffisantes pour répondre à la demande, et les prix ne réagissent pas.
Il reste très utilisé pour évaluer l'impact d'un grand projet (un port, une usine, une compétition sportive), d'un choc sur les exportations, ou pour calculer le contenu en importations ou en émissions de CO₂ de la demande finale.
7.6 Méthode : appliquer le modèle de Leontief
- Vérifier le TES : lignes ($X_i = \sum x_{ij} + Y_i$) et colonnes ($X_j = \sum x_{ij} + VA_j$).
- Calculer les coefficients techniques $a_{ij} = x_{ij} / X_j$ (diviser par la production de la branche acheteuse, en colonne).
- Calculer $I - A$, son déterminant, puis $(I - A)^{-1}$.
- Vérifier : $(I - A)^{-1} Y$ doit redonner les productions initiales.
- Calculer $\Delta X = (I - A)^{-1} \Delta Y$, puis les effets sur la VA et l'emploi.
- Interpréter les multiplicateurs.
Les pièges à éviter
- Diviser $x_{ij}$ par la production de la branche vendeuse $X_i$ au lieu de la branche acheteuse $X_j$.
- Confondre la matrice $A$ et la matrice inverse $L$.
- Oublier les effets indirects en calculant seulement $A\,\Delta Y$.
- Additionner les productions des branches pour obtenir le PIB (il faut additionner les valeurs ajoutées).
- Appliquer le modèle à un choc très important sans discuter des capacités de production et des prix.
Exercice 1 — Une économie à deux branches
Une économie fermée comprend deux branches : l'agriculture (A) et l'industrie (I). Le TES (milliards de DH) est :
| Agriculture | Industrie | Demande finale | Production | |
|---|---|---|---|---|
| Agriculture | 20 | 60 | ? | 200 |
| Industrie | 30 | 90 | ? | 300 |
| Valeur ajoutée | ? | ? | ||
| Production | 200 | 300 |
Travail à faire :
- Complétez le tableau et vérifiez que la valeur ajoutée totale est égale à la demande finale totale.
- Calculez la matrice des coefficients techniques et les coefficients de valeur ajoutée.
- Calculez la matrice inverse de Leontief. Vérifiez qu'elle redonne les productions observées.
- Les exportations industrielles augmentent de 30. Calculez l'effet sur la production de chaque branche et sur la valeur ajoutée totale.
- Calculez le multiplicateur de production de chaque branche. Commentez.
Voir le corrigé
1) Demande finale : $Y_A = 200 - 20 - 60 = \mathbf{120}$ ; $Y_I = 300 - 30 - 90 = \mathbf{180}$. Valeur ajoutée : $VA_A = 200 - 20 - 30 = \mathbf{150}$ ; $VA_I = 300 - 60 - 90 = \mathbf{150}$. Vérification : $150 + 150 = 300 = 120 + 180$ (le PIB vaut 300).
2) $a_{AA} = 20/200 = 0{,}10$ ; $a_{IA} = 30/200 = 0{,}15$ ; $a_{AI} = 60/300 = 0{,}20$ ; $a_{II} = 90/300 = 0{,}30$.
$$A = \begin{pmatrix} 0{,}10 & 0{,}20 \\ 0{,}15 & 0{,}30 \end{pmatrix} \qquad v_A = 150/200 = 0{,}75 \qquad v_I = 150/300 = 0{,}50$$
3) $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}90 & -0{,}20 \\ -0{,}15 & 0{,}70 \end{pmatrix}$ ; $\det = 0{,}63 - 0{,}03 = 0{,}60$.
$$L = (I - A)^{-1} = \frac{1}{0{,}60}\begin{pmatrix} 0{,}70 & 0{,}20 \\ 0{,}15 & 0{,}90 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1{,}167 & 0{,}333 \\ 0{,}250 & 1{,}500 \end{pmatrix}$$
Vérification : $X_A = 1{,}167 \times 120 + 0{,}333 \times 180 = 140 + 60 = 200$ ; $X_I = 0{,}25 \times 120 + 1{,}5 \times 180 = 30 + 270 = 300$ .
4) $\Delta Y = (0 ; 30)$ :
- $\Delta X_A = 0{,}333 \times 30 = \mathbf{10}$ ;
- $\Delta X_I = 1{,}5 \times 30 = \mathbf{45}$.
L'industrie produit 45 de plus : 30 pour l'exportation et 15 pour ses propres besoins et ceux de l'agriculture. Valeur ajoutée : $\Delta VA = 0{,}75 \times 10 + 0{,}5 \times 45 = 7{,}5 + 22{,}5 = \mathbf{30}$, égale au choc de demande finale (économie fermée sans importations : toute la demande finale se transforme en valeur ajoutée).
5) Multiplicateurs : agriculture $1{,}167 + 0{,}25 \approx \mathbf{1{,}42}$ ; industrie $0{,}333 + 1{,}5 \approx \mathbf{1{,}83}$. Un dirham de demande finale adressé à l'industrie engendre 1,83 DH de production dans l'économie, contre 1,42 pour l'agriculture : l'industrie achète davantage aux autres branches (ses coefficients techniques sont plus élevés), ses effets d'entraînement sont plus forts.
Exercice 2 — Effet d'un choc sur l'emploi
On reprend l'économie de l'exercice du cours (agriculture 200, industrie 300). L'agriculture emploie 40 milliers de personnes et l'industrie 30 milliers.
- Calculez les coefficients d'emploi (emplois par milliard de DH produit).
- Calculez l'effet sur l'emploi d'une hausse de 30 des exportations industrielles.
- Même question pour une hausse de 30 des exportations agricoles. Comparez.
Voir le corrigé
1) $e_A = 40 / 200 = 0{,}2$ millier par milliard ; $e_I = 30 / 300 = 0{,}1$.
2) $\Delta X = (10 ; 45)$ : $\Delta \text{Emploi} = 0{,}2 \times 10 + 0{,}1 \times 45 = 2 + 4{,}5 = \mathbf{6{,}5}$ milliers d'emplois.
3) $\Delta X_A = 1{,}167 \times 30 = 35$ ; $\Delta X_I = 0{,}25 \times 30 = 7{,}5$. $\Delta \text{Emploi} = 0{,}2 \times 35 + 0{,}1 \times 7{,}5 = 7 + 0{,}75 = \mathbf{7{,}75}$ milliers. L'agriculture a un multiplicateur de production plus faible, mais elle est plus intensive en travail : un choc agricole crée plus d'emplois.
Exercice 3 — Calculer une matrice inverse
La matrice des coefficients techniques d'une économie à deux branches est $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ et la demande finale $Y = (100 ; 150)$.
- Vérifiez les conditions de Hawkins-Simon.
- Calculez la matrice inverse de Leontief et les productions.
- Vérifiez l'équilibre de la branche 2.
Voir le corrigé
1) $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}1 \\ -0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ : $0{,}8 > 0$ et $\det = 0{,}48 - 0{,}03 = 0{,}45 > 0$ .
2) $L = \dfrac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}8 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1{,}333 & 0{,}222 \\ 0{,}667 & 1{,}778 \end{pmatrix}$. $X_1 = 1{,}333 \times 100 + 0{,}222 \times 150 \approx \mathbf{166{,}7}$ ; $X_2 = 0{,}667 \times 100 + 1{,}778 \times 150 \approx \mathbf{333{,}3}$.
3) $0{,}3 \times 166{,}7 + 0{,}4 \times 333{,}3 + 150 \approx 50 + 133{,}3 + 150 = 333{,}3$ .
L'essentiel — TES et Leontief
- TES : en ligne, les débouchés $X_i = \sum_j x_{ij} + Y_i$ ; en colonne, les coûts $X_j = \sum_i x_{ij} + VA_j$.
- Économie fermée : $\sum VA_j = \sum Y_i = PIB$.
- Coefficient technique $a_{ij} = x_{ij} / X_j$ (production de la branche acheteuse) ; coefficient de VA $v_j = 1 - \sum_i a_{ij}$.
- $X = AX + Y$ ⇒ $X = (I - A)^{-1} Y$ ; $(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \ldots$ (effets directs et indirects).
- $2 \times 2$ : $(I - A)^{-1} = \frac{1}{\det}\begin{pmatrix} 1 - a_{22} & a_{12} \\ a_{21} & 1 - a_{11} \end{pmatrix}$.
- Multiplicateur de production de la branche $j$ = somme de la colonne $j$ de la matrice inverse.
- $\Delta VA = v'\,\Delta X$ ; $\Delta \text{Emploi} = e'\,\Delta X$.
- Hypothèses : coefficients fixes, un produit par branche, capacités suffisantes ; économie ouverte : coefficients domestiques, multiplicateurs plus faibles.
S'entraîner sur des sujets réels
Des sujets réels de concours (master, licence d'excellence) avec une épreuve de Comptabilité Nationale : énoncé complet et corrigé indicatif.