Les séries chronologiques

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• reconnaître les composantes d'une série chronologique : tendance, cycle, saisonnalité, aléa ;
• choisir entre un modèle additif et un modèle multiplicatif ;
• estimer la tendance par les moindres carrés, les points moyens ou les moyennes mobiles ;
• calculer des coefficients saisonniers et une série corrigée des variations saisonnières (CVS) ;
• établir une prévision trimestrielle ou mensuelle et en discuter la fiabilité.

6.1 Qu'est-ce qu'une série chronologique ?

Définition — Série chronologique : suite d'observations d'une même grandeur, relevées à des dates successives et régulièrement espacées (jours, mois, trimestres, années). On la note $y_t$, où $t$ désigne la période.

Les exemples sont partout dans la vie économique marocaine : les arrivées mensuelles de touristes publiées par l'Observatoire du tourisme, l'indice des prix à la consommation du HCP, les exportations trimestrielles de phosphates et dérivés suivies par l'Office des changes, ou tout simplement le chiffre d'affaires mensuel d'un commerce. La statistique des chapitres précédents décrivait une population à une date donnée ; ici, l'ordre des observations compte, car c'est lui qui porte l'information.

La première étape est toujours de tracer le chronogramme : les périodes en abscisse, les valeurs en ordonnée, des points reliés par des segments. Ce graphique suffit souvent à repérer une hausse régulière, des pics qui reviennent au même moment de l'année ou une rupture (une crise, un changement de réglementation).

6.2 Les quatre composantes d'une série

On considère qu'une série résulte de la combinaison de quatre mouvements :

Composante	Notation	Nature	Exemple
Tendance (trend)	$T_t$	Évolution de fond, sur longue période	Hausse régulière de la consommation d'électricité
Cycle	$C_t$	Oscillations de plusieurs années, liées à la conjoncture	Alternance d'années de bonne et de mauvaise récolte
Saisonnalité	$S_t$	Variations qui se répètent chaque année aux mêmes périodes	Pic des ventes de glaces en été, du tourisme en août, des dépenses pendant le Ramadan
Composante accidentelle	$\varepsilon_t$	Variations irrégulières, imprévisibles	Grève, intempéries, panne

En licence, on regroupe généralement tendance et cycle dans une seule composante, qu'on appelle encore tendance, car les séries étudiées sont trop courtes pour isoler un cycle. Le travail consiste alors à séparer la tendance de la saisonnalité, pour savoir si une hausse des ventes traduit une vraie progression de l'activité ou seulement l'arrivée de la « bonne saison ».

6.3 Modèle additif ou modèle multiplicatif

Modèle	Écriture	Hypothèse	Graphiquement
Additif	$y_t = T_t + S_t + \varepsilon_t$	Les variations saisonnières ont une amplitude constante (en DH, en unités)	Les pics et les creux restent à égale distance de la tendance
Multiplicatif	$y_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t$	Les variations saisonnières sont proportionnelles au niveau de la tendance	L'écart entre pics et creux s'élargit quand la série monte

Pour trancher sans se contenter de l'œil, on utilise la méthode analytique : on calcule, pour chaque année, la moyenne $\bar{y}_j$ et l'écart-type $\sigma_j$ des observations. Si l'écart-type reste à peu près constant d'une année sur l'autre, on retient le modèle additif ; s'il augmente avec la moyenne, c'est-à-dire si le coefficient de variation $\sigma_j / \bar{y}_j$ est stable, on retient le modèle multiplicatif. On peut aussi ajuster la droite $\sigma_j = \alpha\,\bar{y}_j + \beta$ : une pente significativement positive conduit au modèle multiplicatif.

Le modèle multiplicatif est le plus fréquent pour des chiffres d'affaires : une entreprise qui double de taille double aussi, à peu près, l'ampleur de ses pics saisonniers.

6.4 Estimer la tendance

La méthode des moindres carrés. On numérote les périodes $t = 1, 2, \dots, n$ et l'on ajuste la droite $T_t = a\,t + b$ exactement comme au chapitre 5, avec $t$ dans le rôle de $x$ :

$$\boxed{a = \frac{cov(t, y)}{V(t)} = \frac{\frac{1}{n}\sum t\,y_t - \bar{t}\,\bar{y}}{\frac{1}{n}\sum t^2 - \bar{t}^2} \qquad b = \bar{y} - a\,\bar{t}}$$

La pente $a$ s'interprète comme l'accroissement moyen de la série par période. Pour $t = 1, \dots, n$, on a toujours $\bar{t} = (n + 1)/2$ et $V(t) = (n^2 - 1)/12$, ce qui accélère les calculs à la main.

La méthode des points moyens (Mayer). On coupe la série en deux moitiés, on calcule le point moyen $(\bar{t}_1, \bar{y}_1)$ de la première et $(\bar{t}_2, \bar{y}_2)$ de la seconde, puis on fait passer la droite par ces deux points. Moins précise que les moindres carrés, elle est rapide et donne une bonne idée de la pente.

La méthode des moyennes mobiles. On remplace chaque observation par la moyenne des observations qui l'entourent sur une année complète, ce qui fait disparaître la saisonnalité. Avec des données trimestrielles, l'ordre est 4 ; comme il est pair, on utilise la moyenne mobile centrée :

$$MM_4(t) = \frac{\frac{1}{2}\,y_{t-2} + y_{t-1} + y_t + y_{t+1} + \frac{1}{2}\,y_{t+2}}{4}$$

Pour des données mensuelles, on calcule de même une moyenne mobile centrée d'ordre 12. Cette méthode ne suppose pas que la tendance est une droite, mais on perd les deux premières et les deux dernières valeurs (six de chaque côté en mensuel) et elle ne fournit pas d'équation pour prévoir.

6.5 Les coefficients saisonniers

Une fois la tendance estimée, on mesure l'effet propre de chaque saison :

Étape	Modèle additif	Modèle multiplicatif
1. Isoler saison + aléa	Écarts $y_t - T_t$	Rapports $y_t / T_t$
2. Neutraliser l'aléa	Moyenne des écarts de chaque trimestre	Moyenne des rapports de chaque trimestre
3. Normaliser	La somme des 4 coefficients doit être nulle	La somme des 4 coefficients doit valoir 4 (moyenne égale à 1)

La normalisation garantit que la saisonnalité ne fait que répartir l'activité de l'année entre les trimestres, sans l'augmenter ni la diminuer. En multiplicatif, on multiplie chaque coefficient brut par $4 / \sum S_{brut}$ ; en additif, on retranche à chacun la moyenne des coefficients bruts.

Un coefficient multiplicatif de 1,39 pour le troisième trimestre se lit ainsi : « en été, les ventes dépassent de 39 % leur niveau de tendance ». Un coefficient additif de − 25 signifie que le trimestre est, en moyenne, 25 unités au-dessous de la tendance.

6.6 La série corrigée des variations saisonnières

La série CVS (ou désaisonnalisée) retire l'effet de saison pour ne garder que la tendance et l'aléa :

$$\boxed{y_t^{CVS} = y_t - S_t \ \ (\text{additif}) \qquad y_t^{CVS} = \frac{y_t}{S_t} \ \ (\text{multiplicatif})}$$

C'est la série que commentent les économistes et les instituts statistiques : le HCP et Bank Al-Maghrib publient de nombreux indicateurs « CVS ». Elle permet de comparer deux trimestres différents : une baisse brute des ventes entre l'été et l'automne peut cacher une hausse en données CVS, si la baisse est moins forte que ce que prévoit la saisonnalité.

6.7 La prévision

Pour prévoir la valeur d'une période future $t_0$, on prolonge la tendance puis on réintroduit la saisonnalité du trimestre concerné :

$$\hat{y}_{t_0} = (a\,t_0 + b) + S_j \ \ (\text{additif}) \qquad \hat{y}_{t_0} = (a\,t_0 + b) \times S_j \ \ (\text{multiplicatif})$$

La prévision suppose que la tendance et le profil saisonnier observés se maintiennent : elle est fiable à court terme (quelques trimestres) et devient fragile si l'horizon s'allonge ou si un événement modifie le marché. C'est la base du budget des ventes en contrôle de gestion.

6.8 Méthode : analyser une série trimestrielle

1. Tracer le chronogramme et repérer tendance et saisonnalité.
2. Choisir le modèle (profil des pics, puis écarts-types et coefficients de variation annuels).
3. Estimer la tendance : moindres carrés sur $t = 1, \dots, n$ (ou moyennes mobiles centrées).
4. Calculer les écarts ou rapports à la tendance, leur moyenne par trimestre, puis normaliser.
5. Calculer la série CVS et la commenter.
6. Prévoir : tendance prolongée, corrigée par le coefficient du trimestre.

⚠️ Les pièges à éviter

• Oublier de normaliser les coefficients saisonniers (somme nulle en additif, somme égale à 4 en multiplicatif).
• Utiliser une moyenne mobile non centrée d'ordre 4 : elle tombe entre deux trimestres.
• Numéroter les périodes par l'année (2023, 2024…) au lieu de $t = 1, 2, \dots, n$ : les calculs deviennent énormes et source d'erreurs.
• En modèle multiplicatif, soustraire le coefficient saisonnier au lieu de diviser par lui.
• Présenter une prévision à long terme comme certaine, sans rappeler l'hypothèse de maintien de la tendance.