Les caractéristiques de tendance centrale

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• déterminer le mode d'une série discrète ou continue ;
• calculer la médiane par le rang ou par interpolation linéaire ;
• calculer une moyenne arithmétique simple ou pondérée et en connaître les propriétés ;
• choisir entre moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique ;
• calculer quartiles et déciles et comparer mode, médiane et moyenne.

2.1 Le mode

Le mode ($M_o$) est la modalité la plus fréquente.

• Série discrète : c'est la valeur de plus grand effectif. Dans l'exemple des 50 ménages du chapitre 1, le mode est 2 enfants (14 ménages).
• Série continue : on repère la classe modale, celle de plus forte densité (et non de plus fort effectif si les amplitudes sont inégales). On peut préciser le mode par interpolation :

$$M_o = e_{i-1} + a_i \times \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}$$

où $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont les écarts de densité entre la classe modale et les classes précédente et suivante. Une série peut être bimodale (deux pics), ce qui signale souvent deux sous-populations mélangées.

Le mode est la seule caractéristique utilisable pour un caractère qualitatif nominal (la région la plus représentée, le produit le plus vendu).

2.2 La médiane

La médiane ($M_e$) partage la population, rangée par ordre croissant, en deux effectifs égaux : 50 % des individus ont une valeur inférieure, 50 % une valeur supérieure.

Série discrète : si $N$ est impair, c'est la valeur de rang $(N + 1)/2$ ; si $N$ est pair, on retient en général la moyenne des valeurs de rangs $N/2$ et $N/2 + 1$. Pour les 50 ménages, les 25ᵉ et 26ᵉ valeurs sont égales à 2 (les cumuls passent de 16 à 30 pour la valeur 2) : $M_e = 2$ enfants.

Série continue : on repère la classe médiane, première classe dont l'effectif cumulé atteint $N/2$, puis on interpole :

$$\boxed{M_e = e_{i-1} + a_i \times \frac{N/2 - N_{i-1}}{n_i}}$$

avec $N_{i-1}$ l'effectif cumulé de la classe précédente. Graphiquement, la médiane est l'abscisse du point d'ordonnée 50 % sur le polygone des fréquences cumulées, ou l'abscisse de l'intersection des courbes cumulatives croissante et décroissante.

La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes : c'est pourquoi on l'utilise pour décrire les revenus ou les prix de l'immobilier.

2.3 La moyenne arithmétique

$$\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i\,x_i = \sum_{i=1}^{k} f_i\,x_i$$

Pour une série en classes, on remplace $x_i$ par le centre $c_i$ (en supposant la répartition uniforme dans chaque classe). Pour les 50 ménages : $\bar{x} = (0 \times 6 + 1 \times 10 + 2 \times 14 + 3 \times 11 + 4 \times 6 + 5 \times 3) / 50 = 110 / 50 = 2{,}2$ enfants.

Propriétés essentielles :

• Linéarité : si $y_i = a\,x_i + b$, alors $\bar{y} = a\,\bar{x} + b$ (utile pour les changements d'unité ou les augmentations de salaires) ;
• la somme des écarts à la moyenne est nulle : $\sum n_i\,(x_i - \bar{x}) = 0$ ;
• moyenne de groupes : la moyenne générale est la moyenne des moyennes pondérée par les effectifs. Exemple : 120 étudiants ont une moyenne de 12,5 et 80 étudiants une moyenne de 11 ; la moyenne générale est $(120 \times 12{,}5 + 80 \times 11) / 200 = 11{,}9$, et non $(12{,}5 + 11)/2 = 11{,}75$ ;
• elle est sensible aux valeurs extrêmes : quelques très hauts salaires suffisent à la tirer vers le haut.

2.4 Les autres moyennes

Moyenne	Formule	Quand l'utiliser ?
Géométrique	$G = \left(\prod x_i^{n_i}\right)^{1/N}$	Taux de croissance, coefficients multiplicateurs
Harmonique	$H = \dfrac{N}{\sum n_i / x_i}$	Vitesses sur une même distance, prix moyen pour une dépense fixe
Quadratique	$Q = \sqrt{\dfrac{\sum n_i\,x_i^2}{N}}$	Écarts, calculs de dispersion

Exemple (géométrique) : un chiffre d'affaires augmente de 5 %, baisse de 2 %, puis augmente de 10 %. Le taux moyen annuel est $\sqrt[3]{1{,}05 \times 0{,}98 \times 1{,}10} - 1 \approx 4{,}22\,\%$, et non la moyenne arithmétique des taux (4,33 %).

Exemple (harmonique) : un camion fait l'aller Casablanca-Rabat à 60 km/h et le retour à 90 km/h. Sa vitesse moyenne est $2 / (1/60 + 1/90) = 72$ km/h (il passe plus de temps à la vitesse lente).

Pour des valeurs positives, on a toujours $H \le G \le \bar{x} \le Q$.

2.5 Les quantiles

Les quartiles $Q_1$, $Q_2 = M_e$ et $Q_3$ partagent la population en quatre parts égales ; les déciles $D_1, \dots, D_9$ en dix ; les centiles en cent. On les calcule comme la médiane, en remplaçant $N/2$ par $N/4$, $3N/4$, $N/10$, etc. :

$$Q_1 = e_{i-1} + a_i \times \frac{N/4 - N_{i-1}}{n_i}$$

Le rapport interdécile $D_9 / D_1$ est souvent utilisé pour mesurer les inégalités de revenus : il indique combien de fois le revenu plancher des 10 % les plus aisés dépasse le revenu plafond des 10 % les plus modestes.

2.6 Comparer mode, médiane et moyenne

Forme de la distribution	Position	Exemple
Symétrique	$M_o = M_e = \bar{x}$	Tailles, erreurs de mesure
Étalée à droite (asymétrie positive)	$M_o < M_e < \bar{x}$	Salaires, revenus, patrimoines
Étalée à gauche (asymétrie négative)	$\bar{x} < M_e < M_o$	Âge au décès dans un pays développé

Pour une distribution modérément asymétrique, on observe empiriquement $\bar{x} - M_o \approx 3\,(\bar{x} - M_e)$ (relation de Pearson).

2.7 Méthode : calculer les caractéristiques de tendance centrale

1. Construire le tableau avec les centres, les densités et les effectifs cumulés.
2. Mode : classe de plus forte densité, puis interpolation.
3. Médiane et quartiles : repérer la classe qui contient le rang $N/2$ (ou $N/4$, $3N/4$) et interpoler.
4. Moyenne : $\sum n_i\,c_i / N$.
5. Comparer les trois valeurs pour décrire la forme de la distribution.

Les pièges à éviter

• Chercher la classe modale avec les effectifs alors que les amplitudes sont inégales.
• Prendre $N_i$ (cumul de la classe médiane) au lieu de $N_{i-1}$ (cumul avant elle) dans la formule de la médiane.
• Calculer la moyenne de deux groupes sans pondérer par les effectifs.
• Faire la moyenne arithmétique de taux de croissance successifs : utiliser la moyenne géométrique des coefficients.
• Oublier que la médiane d'une série discrète se lit sur les rangs, pas sur les modalités.