Les caractéristiques de tendance centrale
2.1 Le mode
Le mode est la modalité de plus grand effectif. Pour une variable continue, on parle de classe modale (celle de plus forte densité si les amplitudes sont inégales).
2.2 La médiane
La médiane $M_e$ partage la population en deux parties d'effectifs égaux. Pour une variable continue, on l'obtient par interpolation linéaire dans la classe médiane $[e_{i-1} ; e_i[$ :
$$M_e = e_{i-1} + a_i \times \frac{\frac{N}{2} - N_{i-1}}{n_i}$$
où $N_{i-1}$ est l'effectif cumulé avant la classe médiane.
2.3 La moyenne arithmétique
$$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i = \sum_{i=1}^{k} f_i x_i$$
Pour une variable continue, on remplace $x_i$ par le centre de classe $c_i$.
2.4 Les quantiles
Les quartiles $Q_1$, $Q_2 = M_e$, $Q_3$ partagent la population en quatre parties égales. Même formule d'interpolation en remplaçant $N/2$ par $N/4$ et $3N/4$.
2.5 Comparaison
| Indicateur | Avantage | Limite |
|---|---|---|
| Mode | Simple, seul possible pour un caractère qualitatif | Peut ne pas être unique |
| Médiane | Insensible aux valeurs extrêmes | Ignore l'information des valeurs éloignées |
| Moyenne | Utilise toute l'information, base des calculs ultérieurs | Très sensible aux valeurs aberrantes |
Exercice 1
Question — Reprenez la distribution de l'exercice 1 (50 employés). Calculez le salaire moyen et le salaire médian, puis commentez l'écart entre les deux.
Voir le corrigé
Moyenne (centres de classes : 4000, 5500, 8000) :
$$\bar{x} = \frac{20(4000) + 20(5500) + 10(8000)}{50} = \frac{80\,000 + 110\,000 + 80\,000}{50} = \frac{270\,000}{50} = 5400 \text{ DH}$$
Médiane : $N/2 = 25$. Effectifs cumulés : 20 ; 40 ; 50 → la classe médiane est [5000 ; 6000[.
$$M_e = 5000 + 1000 \times \frac{25 - 20}{20} = 5000 + 250 = 5250 \text{ DH}$$
Commentaire : $\bar{x} > M_e$, la distribution est étalée à droite (asymétrie positive) : une minorité de hauts salaires (classe [6000 ; 10000[) tire la moyenne vers le haut. La médiane décrit ici mieux le salarié « typique ».
Exercice 2 — Mode, médiane, moyenne et quartiles d'une série discrète
Reprenez la série du nombre d'enfants : 0 (5 familles), 1 (12), 2 (18), 3 (10), 4 (5).
Calculez le mode, la médiane, la moyenne, le premier et le troisième quartile.
Voir le corrigé
- Mode : 2 enfants (effectif 18).
- Médiane : $N/2 = 25$ ; effectifs cumulés 5, 17, 35 : la 25ᵉ famille a 2 enfants, donc $M_e = 2$.
- Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{0 + 12 + 36 + 30 + 20}{50} = \dfrac{98}{50} = 1{,}96$ enfant.
- $Q_1$ : $N/4 = 12{,}5$ → cumul 17 → $Q_1 = 1$ ; $Q_3$ : $3N/4 = 37{,}5$ → cumul 45 → $Q_3 = 3$.
L'essentiel — Tendance centrale
- Mode : modalité (ou classe) de plus grand effectif ; en classes inégales, classe de plus forte densité.
- Médiane : partage la population en deux moitiés ; en classes : $M_e = e_{i-1} + a_i \times \dfrac{N/2 - N_{i-1}}{n_i}$.
- Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i$ (centres de classes pour une variable continue).
- Quartiles : même interpolation avec $N/4$ et $3N/4$.
- La médiane résiste aux valeurs extrêmes ; la moyenne y est sensible.
- $\bar{x} > M_e$ : distribution étalée à droite.