Les fondements du calcul des probabilités
6.1 Vocabulaire
| Terme | Définition |
|---|---|
| Expérience aléatoire | Expérience dont le résultat n'est pas prévisible avec certitude |
| Univers $\Omega$ | Ensemble de tous les résultats possibles |
| Événement | Sous-ensemble de $\Omega$ |
| Événements incompatibles | $A \cap B = \varnothing$ |
6.2 Axiomes et règles de calcul
$$0 \leq P(A) \leq 1 \qquad ; \qquad P(\Omega) = 1 \qquad ; \qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
En situation d'équiprobabilité :
$$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
6.3 Probabilité conditionnelle et indépendance
$$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{si } P(B) \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad P(A \cap B) = P(A/B) \times P(B)$$
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ce qui équivaut à $P(A/B) = P(A)$.
6.4 Probabilités totales et formule de Bayes
Si $\{B_1, ..., B_n\}$ forme une partition de $\Omega$ :
$$P(A) = \sum_{i} P(A/B_i)\,P(B_i)$$
$$P(B_i/A) = \frac{P(A/B_i)\,P(B_i)}{\sum_j P(A/B_j)\,P(B_j)}$$
Exercice 1
Question — Une entreprise s'approvisionne auprès de deux fournisseurs : F1 fournit 60 % des pièces avec 2 % de défectueuses, F2 fournit 40 % des pièces avec 5 % de défectueuses. (a) Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ? (b) Une pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle provienne de F2 ?
Voir le corrigé
(a) Probabilités totales :
$$P(D) = P(D/F_1)P(F_1) + P(D/F_2)P(F_2) = 0{,}02 \times 0{,}6 + 0{,}05 \times 0{,}4 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$$
Soit 3,2 % de pièces défectueuses.
(b) Bayes :
$$P(F_2/D) = \frac{0{,}020}{0{,}032} = 0{,}625$$
62,5 % des pièces défectueuses proviennent de F2, alors que F2 ne fournit que 40 % des pièces : ce fournisseur est bien surreprésenté parmi les défauts.
Exercice 2 — Indépendance et tirages sans remise
- $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. A et B sont-ils indépendants ? Calculez $P(A \cup B)$ et $P(A / B)$.
- Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire successivement 2 boules sans remise. Calculez la probabilité d'obtenir 2 rouges, puis celle d'obtenir au moins une noire.
Voir le corrigé
1) $P(A) \times P(B) = 0{,}2 = P(A \cap B)$ : indépendants. $P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7$ ; $P(A / B) = 0{,}2 / 0{,}5 = 0{,}4 = P(A)$.
2) $P(RR) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}357$ ; $P(\text{au moins une noire}) = 1 - \dfrac{5}{14} = \dfrac{9}{14} \approx 0{,}643$.
L'essentiel — Probabilités
- Univers $\Omega$, événement, événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$).
- $0 \leq P(A) \leq 1$ ; $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
- Conditionnelle : $P(A / B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
- Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- Probabilités totales : $P(A) = \sum P(A / B_i) P(B_i)$ ; Bayes : $P(B_i / A) = \dfrac{P(A / B_i) P(B_i)}{P(A)}$.