Les caractéristiques de dispersion et de forme

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• calculer l'étendue, l'intervalle interquartile et construire une boîte à moustaches ;
• calculer la variance (formule de Koenig), l'écart-type et le coefficient de variation ;
• mesurer l'asymétrie d'une distribution (coefficients de Pearson, de Yule, de Fisher) ;
• construire une courbe de Lorenz et calculer l'indice de Gini ;
• comparer médiane et médiale pour apprécier la concentration.

3.1 Pourquoi mesurer la dispersion ?

Deux séries peuvent avoir la même moyenne et être très différentes. Deux classes ont une moyenne de 12 : dans la première, toutes les notes sont comprises entre 11 et 13 ; dans la seconde, elles vont de 2 à 19. Les caractéristiques de dispersion mesurent l'étalement des valeurs autour de la tendance centrale ; en finance, la dispersion des rentabilités mesure le risque.

3.2 Étendue, intervalle interquartile et boîte à moustaches

• Étendue : $e = x_{max} - x_{min}$. Simple, mais elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes.
• Intervalle interquartile : $IQ = Q_3 - Q_1$ ; il contient les 50 % d'individus « centraux » et n'est pas influencé par les valeurs extrêmes.

La boîte à moustaches (de Tukey) résume une distribution : une boîte de $Q_1$ à $Q_3$ coupée par la médiane, et des « moustaches » qui s'étendent jusqu'aux valeurs extrêmes non aberrantes. On considère comme atypiques les valeurs situées en dehors de l'intervalle $[Q_1 - 1{,}5\,IQ \;;\; Q_3 + 1{,}5\,IQ]$.

3.3 L'écart absolu moyen

$$e_m = \frac{1}{N} \sum n_i\,|x_i - \bar{x}|$$

C'est la distance moyenne à la moyenne. Il est facile à interpréter, mais les valeurs absolues le rendent peu pratique dans les calculs : on lui préfère la variance.

3.4 La variance et l'écart-type

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type est sa racine carrée, exprimée dans la même unité que les données.

$$V(x) = \frac{1}{N} \sum n_i\,(x_i - \bar{x})^2 \qquad \boxed{V(x) = \frac{1}{N} \sum n_i\,x_i^2 - \bar{x}^2} \qquad \sigma = \sqrt{V(x)}$$

La seconde écriture, dite formule de Koenig (« moyenne des carrés moins carré de la moyenne »), simplifie beaucoup les calculs.

Exemple (50 ménages du chapitre 1) : $\sum n_i\,x_i^2 = 0 + 10 + 56 + 99 + 96 + 75 = 336$ ; $V = 336/50 - 2{,}2^2 = 6{,}72 - 4{,}84 = 1{,}88$ ; $\sigma \approx 1{,}37$ enfant.

Propriétés :

• $V(a\,x + b) = a^2\,V(x)$ et $\sigma(a\,x + b) = |a|\,\sigma(x)$ : ajouter une constante ne change pas la dispersion ; multiplier par $a$ multiplie l'écart-type par $|a|$ ;
• pour une population divisée en groupes, la variance totale est la somme de la variance intra-groupes (moyenne des variances) et de la variance inter-groupes (variance des moyennes) : c'est l'équation d'analyse de la variance.

Pour une distribution proche de la loi normale, environ 68 % des individus se situent entre $\bar{x} - \sigma$ et $\bar{x} + \sigma$, et environ 95 % entre $\bar{x} - 2\sigma$ et $\bar{x} + 2\sigma$.

3.5 Le coefficient de variation

$$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$$

Sans unité, il permet de comparer la dispersion de séries de niveaux ou d'unités différents. Exemple : les salaires d'une PME (moyenne 5 000 DH, écart-type 1 000 DH) sont relativement plus dispersés ($CV = 20\,\%$) que ceux d'une banque (moyenne 12 000 DH, écart-type 1 800 DH, $CV = 15\,\%$), bien que l'écart-type de la banque soit plus élevé.

3.6 Les caractéristiques de forme

Asymétrie : un coefficient positif indique une distribution étalée à droite, négatif une distribution étalée à gauche, nul une distribution symétrique.

Coefficient	Formule
Pearson	$\dfrac{\bar{x} - M_o}{\sigma}$
Yule (quartiles)	$\dfrac{Q_3 + Q_1 - 2\,M_e}{Q_3 - Q_1}$
Fisher	$\gamma_1 = \dfrac{\mu_3}{\sigma^3}$ avec $\mu_3 = \dfrac{1}{N} \sum n_i (x_i - \bar{x})^3$

Aplatissement : le coefficient $\beta_2 = \mu_4 / \sigma^4$ vaut 3 pour la loi normale ; au-delà, la distribution est plus « pointue » avec des queues épaisses (valeurs extrêmes plus fréquentes, un point important en finance).

3.7 La concentration : courbe de Lorenz et indice de Gini

La concentration concerne des caractères dont la somme a un sens (masse salariale, revenus, chiffre d'affaires, patrimoine). On se demande quelle part de la masse totale détient une part donnée de la population.

La courbe de Lorenz relie les points $(F_i, Q_i)$ où $F_i$ est la fréquence cumulée des individus et $Q_i$ la part cumulée de la masse $\left(Q_i = \sum_{j \le i} n_j\,c_j \big/ \sum n_j\,c_j\right)$. En cas d'égalité parfaite, elle se confond avec la diagonale ; plus elle s'en éloigne, plus la concentration est forte.

L'indice de Gini mesure l'aire entre la diagonale et la courbe de Lorenz, rapportée à l'aire du triangle :

$$\boxed{G = 1 - \sum_{i} (F_i - F_{i-1})(Q_i + Q_{i-1})}$$

$G = 0$ : égalité parfaite ; $G$ proche de 1 : concentration extrême. Selon le HCP, l'indice de Gini des dépenses de consommation des ménages marocains est de l'ordre de 0,4.

La médiale est la valeur qui partage la masse en deux moitiés. L'écart entre médiale et médiane, rapporté à l'étendue, donne une autre mesure de la concentration : plus il est grand, plus la masse est concentrée sur les valeurs élevées.

3.8 Méthode : étudier la dispersion d'une série

1. Compléter le tableau avec $n_i\,c_i$ et $n_i\,c_i^2$.
2. Calculer la moyenne, puis la variance par Koenig et l'écart-type.
3. Calculer le CV pour comparer avec d'autres séries.
4. Calculer $IQ$ et les coefficients d'asymétrie à partir des quartiles et du mode.
5. Pour la concentration : parts cumulées de la population et de la masse, Lorenz, Gini, médiale.

Les pièges à éviter

• Oublier de soustraire $\bar{x}^2$ dans la formule de Koenig.
• Donner l'écart-type en unités au carré : c'est la variance qui est en unités au carré.
• Comparer les dispersions de séries de niveaux différents avec l'écart-type au lieu du CV.
• Construire la courbe de Lorenz avec les effectifs au lieu des masses $n_i\,c_i$.
• Confondre médiane (partage des individus) et médiale (partage de la masse).