Les caractéristiques de dispersion et de forme
3.1 Étendue et intervalle interquartile
$$E = x_{\max} - x_{\min} \qquad ; \qquad IQ = Q_3 - Q_1$$
3.2 Variance et écart-type
$$V(x) = \frac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = \underbrace{\frac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2}_{\text{formule développée (à privilégier)}}$$
$$\sigma_x = \sqrt{V(x)}$$
3.3 Le coefficient de variation
$$CV = \frac{\sigma_x}{\bar{x}} \times 100$$
Le $CV$ est sans unité : c'est le seul indicateur permettant de comparer la dispersion de deux séries exprimées dans des unités différentes ou d'ordres de grandeur très différents. Une série est d'autant plus homogène que son $CV$ est faible (usuellement $CV < 15\%$).
3.4 Asymétrie (skewness)
| Situation | Forme de la distribution |
|---|---|
| $\bar{x} = M_e = M_o$ | Distribution symétrique |
| $\bar{x} > M_e > M_o$ | Étalement à droite (asymétrie positive) |
| $\bar{x} < M_e < M_o$ | Étalement à gauche (asymétrie négative) |
3.5 La concentration (courbe de Lorenz et indice de Gini)
La courbe de Lorenz relie les fréquences cumulées des individus aux fréquences cumulées de la masse (revenus, CA...). L'indice de Gini $G$ vaut le double de l'aire entre la courbe et la diagonale d'équirépartition :
$$0 \leq G \leq 1$$
$G = 0$ : équirépartition parfaite ; $G$ proche de 1 : concentration extrême. C'est l'outil de référence pour mesurer les inégalités de revenus.
Exercice 1
Question — Deux agences bancaires ont un montant moyen de crédit de 120 000 DH ($\sigma = 18\,000$) pour l'agence A et de 45 000 DH ($\sigma = 9\,000$) pour l'agence B. Quelle agence a la clientèle la plus homogène ?
Voir le corrigé
L'écart-type seul est trompeur (A a le plus grand écart-type mais aussi la plus grande moyenne). On compare les coefficients de variation :
$$CV_A = \frac{18\,000}{120\,000} \times 100 = 15\% \qquad CV_B = \frac{9\,000}{45\,000} \times 100 = 20\%$$
$CV_A < CV_B$ : c'est l'agence A qui a la clientèle la plus homogène, malgré un écart-type absolu deux fois plus élevé.
Exercice 2 — Variance et coefficient de variation
Reprenez la série du nombre d'enfants : 0 (5 familles), 1 (12), 2 (18), 3 (10), 4 (5), de moyenne 1,96.
- Calculez la variance et l'écart-type.
- Calculez le coefficient de variation et l'intervalle interquartile ($Q_1 = 1$, $Q_3 = 3$). Commentez.
Voir le corrigé
1) $\sum n_i x_i^2 = 0 + 12 + 72 + 90 + 80 = 254$ ; $V = \dfrac{254}{50} - 1{,}96^2 = 5{,}08 - 3{,}8416 = 1{,}2384$ ; $\sigma \approx 1{,}11$ enfant.
2) $CV = 1{,}11 / 1{,}96 \approx 56{,}8\%$ : la série est hétérogène (les familles sont très différentes). $IQ = 3 - 1 = 2$ : la moitié centrale des familles a entre 1 et 3 enfants.
L'essentiel — Dispersion et forme
- Étendue $= x_{max} - x_{min}$ ; intervalle interquartile $= Q_3 - Q_1$ (50 % centraux).
- Variance $V = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2$ ; écart-type $\sigma = \sqrt{V}$.
- Coefficient de variation $CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ : sans unité, il compare des séries différentes ; une série est homogène si $CV$ est faible (moins de 15 % environ).
- Forme : $\bar{x} = M_e = M_o$ symétrique ; $\bar{x} > M_e > M_o$ étalée à droite ; $\bar{x} < M_e < M_o$ étalée à gauche.
- Courbe de Lorenz et indice de Gini ($0 \leq G \leq 1$) : mesure de la concentration (inégalités).