Les indices statistiques
4.1 Indice élémentaire
$$I_{t/0} = \frac{x_t}{x_0} \times 100$$
Un indice de 112 signifie une hausse de 12 % entre la date de base 0 et la date $t$.
4.2 Propriétés
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Réversibilité | $I_{t/0} \times I_{0/t} = 100^2$ (en base 100) |
| Transitivité (circularité) | $I_{2/0} = \dfrac{I_{2/1} \times I_{1/0}}{100}$ |
4.3 Indices synthétiques de prix
| Indice | Formule | Pondération |
|---|---|---|
| Laspeyres prix | $L_p = \dfrac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0} \times 100$ | Quantités de la période de base |
| Paasche prix | $P_p = \dfrac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_t} \times 100$ | Quantités de la période courante |
| Fisher | $F = \sqrt{L_p \times P_p}$ | Moyenne géométrique des deux |
L'indice des prix à la consommation (IPC) publié par le HCP au Maroc est un indice de type Laspeyres.
4.4 Taux de croissance annuel moyen (TCAM)
$$TCAM = \left( \frac{x_n}{x_0} \right)^{\frac{1}{n}} - 1$$
Exercice 1
Question — Le chiffre d'affaires d'une entreprise passe de 4 000 000 DH en 2019 à 6 500 000 DH en 2024. Calculez l'indice base 100 en 2019 et le taux de croissance annuel moyen.
Voir le corrigé
Indice : $I_{2024/2019} = \dfrac{6\,500\,000}{4\,000\,000} \times 100 = 162,5$ → hausse de 62,5 % sur la période.
TCAM sur $n = 5$ ans :
$$TCAM = \left( \frac{6\,500\,000}{4\,000\,000} \right)^{1/5} - 1 = (1{,}625)^{0,2} - 1 \approx 0{,}1020$$
Soit environ 10,2 % par an. Attention à ne jamais diviser 62,5 % par 5 (ce qui donnerait 12,5 %) : cela ignorerait l'effet de composition des taux.
Exercice 2 — Laspeyres, Paasche, Fisher
| Produit | $p_0$ | $q_0$ | $p_t$ | $q_t$ |
|---|---|---|---|---|
| A | 10 | 100 | 12 | 90 |
| B | 20 | 50 | 22 | 60 |
- Calculez les indices de prix de Laspeyres, de Paasche et de Fisher.
- Un indice passe de 100 à 105 la première année, puis augmente de 8 % la deuxième. Quel est l'indice de l'année 2 (base 100 à l'année 0) ?
Voir le corrigé
1) $\sum p_0 q_0 = 1\,000 + 1\,000 = 2\,000$ ; $\sum p_t q_0 = 1\,200 + 1\,100 = 2\,300$ ; $L = 115$.
$\sum p_t q_t = 1\,080 + 1\,320 = 2\,400$ ; $\sum p_0 q_t = 900 + 1\,200 = 2\,100$ ; $P \approx 114{,}29$.
$F = \sqrt{115 \times 114{,}29} \approx 114{,}64$.
2) Transitivité : $I_{2/0} = \dfrac{108 \times 105}{100} = 113{,}4$ (hausse de 13,4 %, et non 13 %).
L'essentiel — Les indices
- Indice élémentaire : $I_{t/0} = \dfrac{x_t}{x_0} \times 100$ ; un indice de 112 = hausse de 12 %.
- Réversibilité : $I_{t/0} \times I_{0/t} = 100^2$ ; transitivité : $I_{2/0} = \dfrac{I_{2/1} \times I_{1/0}}{100}$.
- Laspeyres : $L = \dfrac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0} \times 100$ (quantités de base) ; l'IPC du HCP est de type Laspeyres.
- Paasche : $P = \dfrac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_t} \times 100$ (quantités courantes) ; Fisher $= \sqrt{L \times P}$.
- TCAM $= \left(\dfrac{x_n}{x_0}\right)^{1/n} - 1$ : ne jamais diviser la hausse totale par le nombre d'années.