Les indices statistiques

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• calculer et interpréter un indice élémentaire ;
• utiliser les propriétés de réversibilité et de circularité, changer de base et raccorder des séries ;
• calculer les indices synthétiques de Laspeyres, de Paasche et de Fisher ;
• décomposer un indice de valeur en indice de prix et indice de quantité ;
• calculer un taux de croissance annuel moyen et déflater une série.

4.1 L'indice élémentaire

Un indice compare la valeur d'une grandeur à deux dates (ou en deux lieux). Pour une grandeur simple (le prix d'un produit, le chiffre d'affaires d'une entreprise), l'indice élémentaire de la date $t$ par rapport à la date de base $0$ est :

$$\boxed{I_{t/0} = \frac{x_t}{x_0} \times 100}$$

L'indice de la date de base vaut 100. Un indice de 118,75 signifie une hausse de 18,75 % ; un indice de 92, une baisse de 8 %. Attention : la différence entre deux indices s'exprime en points, pas en pourcentage : passer de 110 à 121 représente une hausse de 11 points, mais de 10 %.

4.2 Les propriétés des indices élémentaires

Propriété	Formule	Exemple
Réversibilité	$I_{0/t} = \dfrac{100^2}{I_{t/0}}$	Si $I_{1/0} = 125$, alors $I_{0/1} = 80$
Circularité (enchaînement)	$I_{t/0} = \dfrac{I_{t/t-1} \times I_{t-1/0}}{100}$	$I_{2/1} = 110$ et $I_{1/0} = 105$ donnent $I_{2/0} = 115{,}5$

La circularité permet de construire un indice chaîne à partir d'indices annuels successifs.

Changement de base : pour passer de la base 0 à la base $b$, on divise chaque indice par l'indice de la nouvelle année de base :

$$I_{t/b} = \frac{I_{t/0}}{I_{b/0}} \times 100$$

Raccordement : lorsqu'un organisme publie un nouvel indice (nouvelle base, nouveau panier), on raccorde l'ancienne et la nouvelle série grâce à une année commune, en appliquant le coefficient de passage à toute l'ancienne série.

4.3 Les indices synthétiques

Pour un ensemble de produits (un panier de consommation), on ne peut pas additionner des kilogrammes de farine et des litres d'huile : on agrège les dépenses. Notons $p$ les prix et $q$ les quantités.

Indice	Indice de prix	Pondération
Laspeyres	$L_p = \dfrac{\sum p_t\,q_0}{\sum p_0\,q_0} \times 100$	Quantités de la période de base
Paasche	$P_p = \dfrac{\sum p_t\,q_t}{\sum p_0\,q_t} \times 100$	Quantités de la période courante
Fisher	$F_p = \sqrt{L_p \times P_p}$	Moyenne géométrique des deux

On définit de la même façon les indices de quantité ($L_q$, $P_q$, $F_q$) en échangeant les rôles de $p$ et de $q$.

L'indice de Laspeyres s'écrit aussi comme une moyenne pondérée des indices élémentaires, avec pour poids les coefficients budgétaires de la période de base $w_{i,0} = p_{i,0}\,q_{i,0} / \sum p_0\,q_0$ :

$$L_p = \sum w_{i,0} \times i_i$$

C'est cette forme qu'utilise le HCP pour l'indice des prix à la consommation : les pondérations viennent des enquêtes sur la consommation des ménages et sont révisées lors des changements de base.

Comparaison : en général $L_p \ge P_p$, car les consommateurs réduisent la quantité des produits dont le prix augmente le plus (effet de substitution) : le Laspeyres, qui garde les anciennes quantités, surestime légèrement la hausse du coût de la vie. Seul l'indice de Fisher est réversible.

4.4 La décomposition de l'indice de valeur

L'indice de valeur mesure l'évolution de la dépense totale :

$$V_{t/0} = \frac{\sum p_t\,q_t}{\sum p_0\,q_0} \times 100$$

Il se décompose exactement en un effet prix et un effet quantité :

$$\boxed{V = \frac{L_p \times P_q}{100} = \frac{P_p \times L_q}{100} = \frac{F_p \times F_q}{100}}$$

4.5 Le taux de croissance annuel moyen

Entre une valeur initiale $V_0$ et une valeur $V_n$ atteinte $n$ années plus tard :

$$\boxed{TCAM = \left(\frac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1}$$

C'est une moyenne géométrique des coefficients annuels (chapitre 2). Règle pratique : une grandeur qui croît de $t$ % par an double en environ $70 / t$ années (7 ans à 10 %).

4.6 Déflater une série

Une série en valeur (chiffre d'affaires, salaire, PIB) mélange évolution des quantités et évolution des prix. Pour obtenir la série en volume (ou en termes réels), on la divise par un indice de prix :

$$\text{Valeur réelle}_t = \frac{\text{Valeur nominale}_t}{I_{t/0}} \times 100$$

Exemple : un chiffre d'affaires passe de 800 à 1 100 milliers de DH en 4 ans (+ 37,5 %) alors que l'indice des prix de ses produits passe à 115. En DH de l'année de base, il vaut $1\,100 / 1{,}15 \approx 956{,}5$ : la croissance réelle n'est que de 19,6 %.

Au Maroc, les principaux indices publiés sont l'IPC (HCP), l'indice de la production industrielle, l'indice des prix des actifs immobiliers (Bank Al-Maghrib et Agence nationale de la conservation foncière) et les indices boursiers de la Bourse de Casablanca, dont le MASI.

4.7 Méthode : calculer des indices synthétiques

1. Calculer les quatre sommes : $\sum p_0 q_0$, $\sum p_t q_0$, $\sum p_t q_t$, $\sum p_0 q_t$.
2. En déduire $L_p$, $P_p$, $F_p$, puis $L_q$, $P_q$, $F_q$ et l'indice de valeur.
3. Vérifier la décomposition $V = L_p \times P_q / 100 = P_p \times L_q / 100$.
4. Interpréter : hausse des prix, évolution des quantités, effet de substitution.
5. Pour une série chronologique : indices base fixe, indices chaîne, TCAM, série déflatée.

Les pièges à éviter

• Confondre une variation en points d'indice et une variation en pourcentage.
• Additionner des indices élémentaires sans les pondérer.
• Inverser les pondérations : Laspeyres utilise les quantités de base, Paasche les quantités courantes.
• Calculer le TCAM en divisant la variation totale par le nombre d'années.
• Oublier de déflater avant de parler de croissance réelle.