Vocabulaire et tableaux statistiques
1.1 Définitions de base
| Terme | Définition |
|---|---|
| Population | Ensemble des éléments étudiés (ex. les entreprises d'un secteur) |
| Individu (unité statistique) | Un élément de la population |
| Échantillon | Sous-ensemble de la population effectivement observé |
| Caractère (variable) | Propriété étudiée sur chaque individu |
| Modalité | Valeur prise par le caractère |
1.2 Typologie des caractères
| Type | Sous-type | Exemple |
|---|---|---|
| Qualitatif | Nominal (pas d'ordre) | Secteur d'activité, sexe |
| Qualitatif | Ordinal (ordonné) | Niveau de satisfaction |
| Quantitatif | Discret (valeurs isolées) | Nombre d'enfants, nombre de salariés |
| Quantitatif | Continu (regroupé en classes) | Salaire, chiffre d'affaires |
1.3 Effectifs et fréquences
Pour une modalité $x_i$ d'effectif $n_i$ dans une population de taille $N$ :
$$f_i = \frac{n_i}{N} \qquad \text{avec} \qquad \sum_{i=1}^{k} n_i = N \quad \text{et} \quad \sum_{i=1}^{k} f_i = 1$$
L'effectif cumulé croissant $N_i$ est la somme des effectifs jusqu'à la modalité $i$ incluse ; il sert au calcul de la médiane et des quartiles.
1.4 Le cas des variables continues
Les données sont regroupées en classes $[e_{i-1} ; e_i[$ :
- Amplitude de la classe : $a_i = e_i - e_{i-1}$
- Centre de la classe : $c_i = \dfrac{e_{i-1} + e_i}{2}$
- Densité : $d_i = \dfrac{n_i}{a_i}$ — indispensable quand les amplitudes sont inégales (l'histogramme se construit alors avec la densité en ordonnée, non l'effectif).
Exercice 1
Question — Les salaires mensuels (en DH) de 50 employés sont répartis ainsi : [3000 ; 5000[ : 20 employés ; [5000 ; 6000[ : 20 employés ; [6000 ; 10000[ : 10 employés. Peut-on construire l'histogramme directement à partir des effectifs ? Calculez ce qu'il faut porter en ordonnée.
Voir le corrigé
Non : les amplitudes sont inégales (2000, 1000, 4000), il faut donc utiliser la densité $d_i = n_i / a_i$, sinon la surface des rectangles ne serait plus proportionnelle aux effectifs.
| Classe | $n_i$ | $a_i$ | $d_i = n_i/a_i$ |
|---|---|---|---|
| [3000 ; 5000[ | 20 | 2000 | 0,010 |
| [5000 ; 6000[ | 20 | 1000 | 0,020 |
| [6000 ; 10000[ | 10 | 4000 | 0,0025 |
C'est bien la classe [5000 ; 6000[ qui est la plus « dense » : elle concentre 20 employés sur seulement 1000 DH d'amplitude.
Exercice 2 — Série discrète
On a relevé le nombre d'enfants de 50 familles :
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 12 | 18 | 10 | 5 |
- Précisez la population, le caractère et sa nature.
- Calculez les fréquences et les effectifs cumulés croissants.
- Quelle proportion de familles a au plus 2 enfants ?
Voir le corrigé
1) Population : les 50 familles ; caractère : le nombre d'enfants ; quantitatif discret.
2)
| $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $f_i$ | 10 % | 24 % | 36 % | 20 % | 10 % |
| $N_i$ | 5 | 17 | 35 | 45 | 50 |
3) $35 / 50 = 70\%$.
L'essentiel — Vocabulaire statistique
- Population (ensemble étudié), individu, échantillon, caractère (variable), modalité.
- Caractère qualitatif (nominal ou ordinal) ou quantitatif (discret ou continu).
- Fréquence : $f_i = n_i / N$, avec $\sum n_i = N$ et $\sum f_i = 1$.
- Effectif cumulé croissant $N_i$ : utile pour la médiane et les quartiles.
- Variable continue en classes : amplitude $a_i = e_i - e_{i-1}$, centre $c_i$, densité $d_i = n_i / a_i$.
- Histogramme à amplitudes inégales : on porte la densité en ordonnée.