Échantillonnage et estimation
8.1 Distribution de la moyenne empirique
Si l'on prélève des échantillons de taille $n$ dans une population de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ :
$$E(\bar{X}) = \mu \qquad ; \qquad \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
$\sigma/\sqrt{n}$ est l'erreur-type : la précision s'améliore comme la racine carrée de la taille de l'échantillon (quadrupler $n$ divise l'erreur par 2). D'après le théorème central limite, $\bar{X}$ suit approximativement une loi normale dès que $n \geq 30$, quelle que soit la loi de la population.
8.2 Estimation ponctuelle
| Paramètre | Estimateur | Remarque |
|---|---|---|
| Moyenne $\mu$ | $\bar{x}$ | Sans biais |
| Proportion $p$ | $f$ (fréquence observée) | Sans biais |
| Variance $\sigma^2$ | $s^2 = \dfrac{n}{n-1}\,\sigma_e^2$ | Correction de biais : diviser par $n-1$ |
8.3 Intervalle de confiance d'une moyenne
$$IC = \left[ \bar{x} - t\frac{s}{\sqrt{n}} \; ; \; \bar{x} + t\frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$
où $t = 1{,}96$ au seuil de confiance de 95 % et $t = 2{,}58$ à 99 % (grands échantillons).
8.4 Intervalle de confiance d'une proportion
$$IC = \left[ f - t\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} \; ; \; f + t\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} \right]$$
Exercice 1
Question — Sur un échantillon de 400 clients, 60 % se déclarent satisfaits. Déterminez l'intervalle de confiance de la proportion de clients satisfaits au seuil de 95 %.
Voir le corrigé
$f = 0{,}60$, $n = 400$, $t = 1{,}96$ :
$$\sqrt{\frac{0{,}6 \times 0{,}4}{400}} = \sqrt{\frac{0{,}24}{400}} = \sqrt{0{,}0006} \approx 0{,}0245$$
$$IC = [0{,}60 - 1{,}96 \times 0{,}0245 \; ; \; 0{,}60 + 1{,}96 \times 0{,}0245] = [0{,}552 \; ; \; 0{,}648]$$
Au seuil de 95 %, la proportion de clients satisfaits dans la population est comprise entre 55,2 % et 64,8 % (marge d'erreur de ± 4,8 points).
Exercice 2 — Intervalle de confiance et taille d'échantillon
- Sur 100 clients, le panier moyen est de 250 DH, avec un écart-type estimé $s = 40$ DH. Donnez l'intervalle de confiance du panier moyen à 95 %.
- Quelle taille d'échantillon faudrait-il pour une marge d'erreur de ±2 DH ?
- Pour un sondage sur une proportion, sans information préalable ($f = 0{,}5$), combien de personnes interroger pour une marge de ±3 points à 95 % ?
Voir le corrigé
1) Erreur-type $= 40 / \sqrt{100} = 4$ ; $IC = [250 - 1{,}96 \times 4 \;;\; 250 + 1{,}96 \times 4] = [242{,}16 \;;\; 257{,}84]$ DH.
2) $n = \left(\dfrac{1{,}96 \times 40}{2}\right)^2 = 39{,}2^2 \approx 1\,536{,}6$, soit 1 537 clients.
3) $n = \dfrac{1{,}96^2 \times 0{,}5 \times 0{,}5}{0{,}03^2} \approx 1\,067{,}1$, soit 1 068 personnes.
L'essentiel — Échantillonnage et estimation
- $E(\bar{X}) = \mu$ ; erreur-type $\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : quadrupler $n$ divise l'erreur par 2.
- Théorème central limite : pour $n \geq 30$, $\bar{X}$ suit approximativement une loi normale.
- Estimateurs sans biais : $\bar{x}$ pour $\mu$, $f$ pour $p$, $s^2 = \dfrac{n}{n - 1}\sigma_e^2$ pour $\sigma^2$.
- IC d'une moyenne : $\bar{x} \pm t \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ ; IC d'une proportion : $f \pm t\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}$ ; $t = 1{,}96$ (95 %) ou 2,58 (99 %).
- Taille d'échantillon pour une marge $e$ : $n = \left(\dfrac{t\,s}{e}\right)^2$ (moyenne) ou $n = \dfrac{t^2 f(1 - f)}{e^2}$ (proportion).