Variables aléatoires et lois usuelles
7.1 Espérance et variance
Pour une variable aléatoire discrète $X$ :
$$E(X) = \sum_i x_i \, P(X = x_i) \qquad ; \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
Propriétés : $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
7.2 Les lois discrètes usuelles
| Loi | Conditions | $E(X)$ | $V(X)$ |
|---|---|---|---|
| Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ | Une épreuve, succès/échec | $p$ | $p(1-p)$ |
| Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ | $n$ épreuves indépendantes, $p$ constante | $np$ | $np(1-p)$ |
| Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ | Événements rares sur une période | $\lambda$ | $\lambda$ |
$$P(X = k) = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{(binomiale)} \qquad ; \qquad P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \quad \text{(Poisson)}$$
7.3 La loi normale
$X \sim \mathcal{N}(\mu ; \sigma)$. On se ramène à la loi normale centrée réduite $T \sim \mathcal{N}(0 ; 1)$ par le changement de variable :
$$T = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
Valeurs à mémoriser : $P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 68\%$ ; $\pm 2\sigma \approx 95\%$ ; $\pm 3\sigma \approx 99{,}7\%$.
7.4 Approximations classiques
| De | Vers | Conditions |
|---|---|---|
| Binomiale | Poisson $\lambda = np$ | $n \geq 30$, $p \leq 0{,}1$, $np < 5$ |
| Binomiale | Normale $\mathcal{N}(np ; \sqrt{np(1-p)})$ | $n \geq 30$, $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$ |
Exercice 1
Question — Un centre d'appels reçoit en moyenne 3 réclamations par heure, suivant une loi de Poisson. Calculez la probabilité de recevoir exactement 2 réclamations en une heure, puis celle d'en recevoir au moins une.
Voir le corrigé
Avec $\lambda = 3$ :
$$P(X = 2) = e^{-3}\frac{3^2}{2!} = e^{-3} \times 4{,}5 \approx 0{,}0498 \times 4{,}5 \approx 0{,}224$$
Soit 22,4 %.
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^{-3} \approx 1 - 0{,}0498 = 0{,}950$$
Soit 95,0 %. Le réflexe « au moins un = 1 − aucun » évite une somme infinie.
Exercice 2 — Binomiale et normale
- 20 % des clients d'une agence achètent une assurance. On observe 10 clients indépendants. Calculez la probabilité que exactement 2 achètent, puis l'espérance et la variance du nombre d'acheteurs.
- Le poids d'un paquet suit une loi normale $\mathcal{N}(500 ; 10)$ (en grammes). Calculez $P(X < 490)$ et $P(480 < X < 520)$ sachant que $P(T < 1) = 0{,}8413$ et $P(T < 2) = 0{,}9772$.
Voir le corrigé
1) $P(X = 2) = C_{10}^2 \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^8 = 45 \times 0{,}04 \times 0{,}1678 \approx 0{,}302$ ; $E = 10 \times 0{,}2 = 2$ ; $V = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 1{,}6$.
2) $P(X < 490) = P(T < -1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
$P(480 < X < 520) = P(-2 < T < 2) = 2 \times 0{,}9772 - 1 = 0{,}9544$.
L'essentiel — Variables aléatoires et lois
- $E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$ ; $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ; $E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
- Bernoulli : $E = p$, $V = p(1 - p)$.
- Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$ ; $E = np$ ; $V = np(1 - p)$.
- Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X = k) = e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^k}{k!}$ ; $E = V = \lambda$.
- Normale : on centre-réduit $T = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ ; $\pm 1\sigma$ : 68 % ; $\pm 2\sigma$ : 95 % ; $\pm 3\sigma$ : 99,7 %.
- Approximations : binomiale → Poisson ($p$ petit) ou → normale ($np \geq 5$ et $n(1 - p) \geq 5$).