Les coûts de production
6.1 Les coûts de court terme
$$CT(q) = CF + CV(q)$$
| Coût | Formule | Comportement |
|---|---|---|
| Coût fixe (CF) | Indépendant de $q$ | Constant |
| Coût variable (CV) | Croît avec $q$ | Croissant |
| Coût total (CT) | $CF + CV$ | Croissant |
| Coût fixe moyen (CFM) | $CF/q$ | Toujours décroissant |
| Coût variable moyen (CVM) | $CV/q$ | En U |
| Coût moyen (CM) | $CT/q = CFM + CVM$ | En U |
| Coût marginal (Cm) | $dCT/dq = dCV/dq$ | En U |
6.2 Les relations fondamentales
| Si | Alors |
|---|---|
| $Cm < CM$ | $CM$ décroît |
| $Cm = CM$ | $CM$ est minimal |
| $Cm > CM$ | $CM$ croît |
$$\boxed{Cm \text{ coupe } CM \text{ et } CVM \text{ en leur minimum}}$$
📌 Lien avec le chapitre 5 : $Cm = \dfrac{w}{Pm_L}$. Quand la productivité marginale est maximale, le coût marginal est minimal — les deux courbes sont « en miroir ».
6.3 Les coûts de long terme
À long terme, tous les facteurs sont variables : il n'y a plus de coûts fixes. La courbe de coût moyen de long terme (CMLT) enveloppe les courbes de court terme.
| Zone de la CMLT | Cause |
|---|---|
| Décroissante | Économies d'échelle : indivisibilités, spécialisation, pouvoir de négociation |
| Minimale | Taille optimale (efficiente) de l'entreprise |
| Croissante | Déséconomies d'échelle : lourdeurs bureaucratiques, coordination coûteuse |
Exercice 1
Une entreprise a pour fonction de coût total de court terme :
$$CT(q) = q^3 - 6q^2 + 20q + 50$$
- Identifiez le coût fixe et la fonction de coût variable.
- Déterminez $CM(q)$, $CVM(q)$ et $Cm(q)$.
- Calculez la quantité qui minimise le coût variable moyen et vérifiez que $Cm = CVM$ en ce point.
- Calculez $CT$, $CM$ et $Cm$ pour $q = 5$.
- À $q = 5$, le coût moyen est-il croissant ou décroissant ? Justifiez sans le calculer pour une autre quantité.
Voir le corrigé
1) Décomposition : $$CF = \mathbf{50} \quad (\text{terme indépendant de } q) \qquad CV(q) = q^3 - 6q^2 + 20q$$
2) Les coûts unitaires : $$CM(q) = \frac{CT}{q} = q^2 - 6q + 20 + \frac{50}{q}$$ $$CVM(q) = \frac{CV}{q} = q^2 - 6q + 20$$ $$Cm(q) = \frac{dCT}{dq} = 3q^2 - 12q + 20$$
3) Minimum du coût variable moyen : $$\frac{dCVM}{dq} = 2q - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{q = 3}$$ (Second ordre : $CVM'' = 2 > 0$ → minimum ✓) $$CVM(3) = 9 - 18 + 20 = \mathbf{11}$$ Vérification : $$Cm(3) = 3(9) - 12(3) + 20 = 27 - 36 + 20 = \mathbf{11} = CVM(3) \quad \checkmark$$ Le coût marginal coupe bien le coût variable moyen en son minimum.
4) Valeurs pour $q = 5$ : $$CT(5) = 125 - 150 + 100 + 50 = \mathbf{125}$$ $$CM(5) = \frac{125}{5} = \mathbf{25} \qquad Cm(5) = 75 - 60 + 20 = \mathbf{35}$$
5) À $q = 5$, le coût moyen est CROISSANT. Justification par la relation fondamentale : $Cm(5) = 35 > CM(5) = 25$. Or lorsque le coût marginal est supérieur au coût moyen, la production d'une unité supplémentaire coûte plus cher que la moyenne actuelle : elle tire donc la moyenne vers le haut. Aucun calcul supplémentaire n'est nécessaire — c'est exactement la logique de la moyenne des notes.
Exercice 2 — Minimum du CVM et du CM
$CT(q) = q^3 - 6q^2 + 20q + 100$.
- Identifiez CF et CV ; donnez CVM, CM et Cm.
- Trouvez le minimum du CVM et vérifiez qu'il est atteint là où $Cm = CVM$.
- Vérifiez que le CM est minimal pour $q = 5$ et calculez sa valeur.
Voir le corrigé
1) $CF = 100$ ; $CV = q^3 - 6q^2 + 20q$ ; $CVM = q^2 - 6q + 20$ ; $CM = q^2 - 6q + 20 + \dfrac{100}{q}$ ; $Cm = 3q^2 - 12q + 20$.
2) $CVM' = 2q - 6 = 0$ pour $q = 3$ : $CVM_{min} = 9 - 18 + 20 = 11$. $Cm(3) = 27 - 36 + 20 = 11$ ✓.
3) $CM(5) = 25 - 30 + 20 + 20 = 35$ et $Cm(5) = 75 - 60 + 20 = 35$ : $Cm = CM$, donc le CM est minimal en $q = 5$ ($CM_{min} = 35$).
L'essentiel — Les coûts
- $CT = CF + CV(q)$ ; $CFM = CF / q$ (toujours décroissant) ; $CVM = CV / q$ ; $CM = CT / q$ ; $Cm = dCT / dq$.
- $CVM$, $CM$ et $Cm$ sont en U.
- Le coût marginal coupe le CVM et le CM en leur minimum : si $Cm < CM$, $CM$ baisse ; si $Cm > CM$, $CM$ monte.
- Lien avec la productivité : $Cm = w / Pm_L$.
- À long terme, pas de coûts fixes ; la CMLT enveloppe les courbes de court terme : économies d'échelle, taille optimale, déséconomies d'échelle.