La contrainte budgétaire et l'équilibre du consommateur

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• écrire et représenter la contrainte budgétaire ;
• analyser l'effet d'une variation du revenu ou d'un prix sur la droite de budget ;
• déterminer l'équilibre du consommateur par la condition $TMS = P_X / P_Y$ ou par le lagrangien ;
• établir les fonctions de demande d'une Cobb-Douglas ;
• décomposer l'effet d'une variation de prix en effet de substitution et effet de revenu (Slutsky).

4.1 La contrainte budgétaire

Le consommateur dispose d'un revenu $R$ qu'il dépense entièrement en deux biens X et Y, aux prix $P_X$ et $P_Y$ :

$$P_X\,x + P_Y\,y = R \qquad \Leftrightarrow \qquad y = \frac{R}{P_Y} - \frac{P_X}{P_Y}\,x$$

• Ordonnée à l'origine : $R / P_Y$ (tout le revenu en Y) ; abscisse à l'origine : $R / P_X$.
• Pente : $-P_X / P_Y$, le prix relatif de X : le coût d'opportunité d'une unité de X en unités de Y.
• Les paniers sous la droite sont accessibles ; ceux au-dessus ne le sont pas.

4.2 Les déplacements de la droite de budget

Changement	Effet	Exemple avec $R = 120$, $P_X = 2$, $P_Y = 4$
Hausse du revenu	Déplacement parallèle vers l'extérieur	$R = 180$ : intercepts 90 (X) et 45 (Y) au lieu de 60 et 30
Hausse de $P_X$	Rotation autour de l'ordonnée à l'origine, la droite pivote vers l'intérieur	$P_X = 3$ : intercept X de 60 à 40
Hausse proportionnelle de tous les prix et du revenu	Aucun changement	Neutralité de la monnaie pour le consommateur

4.3 L'équilibre du consommateur

Le consommateur choisit le panier qui maximise son utilité sous la contrainte budgétaire. Graphiquement, c'est le point où une courbe d'indifférence est tangente à la droite de budget. À ce point, les pentes sont égales :

$$TMS_{X/Y} = \frac{Um_X}{Um_Y} = \frac{P_X}{P_Y} \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{Um_X}{P_X} = \frac{Um_Y}{P_Y}$$

La seconde forme est la loi d'égalisation des utilités marginales pondérées par les prix : le dernier dirham dépensé doit rapporter la même utilité dans chaque bien. Si $Um_X / P_X > Um_Y / P_Y$, le consommateur a intérêt à acheter plus de X et moins de Y.

Méthode du lagrangien : $\mathcal{L} = U(x, y) + \lambda\,(R - P_X x - P_Y y)$. Les conditions du premier ordre $\partial \mathcal{L}/\partial x = 0$, $\partial \mathcal{L}/\partial y = 0$ et $\partial \mathcal{L}/\partial \lambda = 0$ redonnent l'égalité ci-dessus et la contrainte ; $\lambda$ est l'utilité marginale du revenu.

4.4 Exemple : $U = xy$, $R = 120$, $P_X = 2$, $P_Y = 4$

• Condition d'optimum : $TMS = y / x = P_X / P_Y = 2/4$, donc $x = 2y$.
• Contrainte : $2x + 4y = 120 \Rightarrow 4y + 4y = 120 \Rightarrow y^* = 15$, $x^* = 30$.
• Utilité : $U = 30 \times 15 = 450$. Dépense : $60 + 60 = 120$ ✓.

4.5 Les fonctions de demande

Pour une Cobb-Douglas $U = x^a y^b$, le consommateur dépense une part fixe de son revenu dans chaque bien :

$$x^* = \frac{a}{a + b} \times \frac{R}{P_X} \qquad y^* = \frac{b}{a + b} \times \frac{R}{P_Y}$$

Pour $U = xy$ : $x^* = R / (2P_X)$. On en déduit :

• la courbe de demande (relation entre $x$ et $P_X$) : décroissante, d'élasticité-prix égale à −1 ;
• la courbe d'Engel (relation entre $x$ et $R$) : croissante, le bien est normal.

4.6 Effet de substitution et effet de revenu (Slutsky)

Quand le prix d'un bien varie, la quantité demandée change pour deux raisons :

• l'effet de substitution : le bien devient relativement plus cher ou moins cher, on le remplace par l'autre bien, à pouvoir d'achat constant ;
• l'effet de revenu : le pouvoir d'achat réel change.

Méthode de Slutsky : on calcule le revenu compensé $R'$ qui permettrait d'acheter l'ancien panier aux nouveaux prix, puis le choix optimal avec ce revenu.

Reprise de l'exemple : $P_X$ passe de 2 à 3.

• Nouvel optimum : $x = 120 / 6 = 20$ ; effet total $= 20 - 30 = -10$.
• Revenu compensé : $R' = 3 \times 30 + 4 \times 15 = 150$ ; optimum compensé $x_c = 150 / 6 = 25$.
• Effet de substitution $= 25 - 30 = -5$ ; effet de revenu $= 20 - 25 = -5$.

L'effet de substitution est toujours de sens opposé à la variation de prix. L'effet de revenu est de même sens pour un bien normal, de sens inverse pour un bien inférieur. Un bien de Giffen est un bien inférieur dont l'effet de revenu l'emporte : sa demande augmente avec son prix (cas très rare).

4.7 Méthode : trouver l'équilibre du consommateur

1. Calculer $Um_X$, $Um_Y$ et le $TMS$.
2. Poser $TMS = P_X / P_Y$ et en déduire une relation entre $x$ et $y$.
3. Remplacer dans la contrainte budgétaire ; calculer $x^*$ et $y^*$.
4. Vérifier : dépense totale $= R$, $TMS = P_X / P_Y$.
5. Pour une variation de prix : optimum nouveau, revenu compensé, effets de substitution et de revenu.

Les pièges à éviter

• Inverser le rapport de prix : c'est $P_X / P_Y$ quand X est en abscisse.
• Oublier de vérifier que le revenu est entièrement dépensé.
• Confondre déplacement parallèle (revenu) et rotation (prix).
• Calculer le revenu compensé avec le nouveau panier : Slutsky utilise l'ancien panier aux nouveaux prix.
• Croire qu'une hausse du prix augmente la demande d'un bien inférieur : ce n'est vrai que pour un bien de Giffen.