La contrainte budgétaire et l'équilibre du consommateur
4.1 La droite de budget
$$p_x\,x + p_y\,y = R \qquad \Longleftrightarrow \qquad y = \frac{R}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}\,x$$
| Élément | Valeur | Signification |
|---|---|---|
| Ordonnée à l'origine | $R/p_y$ | Tout le revenu consacré à $y$ |
| Abscisse à l'origine | $R/p_x$ | Tout le revenu consacré à $x$ |
| Pente | $-p_x/p_y$ | Coût d'opportunité de $x$ en termes de $y$ |
| Variation | Effet sur la droite de budget |
|---|---|
| Revenu $R$ ↑ | Translation parallèle vers la droite (pente inchangée) |
| $p_x$ ↑ | Rotation autour de l'ordonnée à l'origine, vers l'intérieur |
| Tous les prix et le revenu ×$k$ | Aucun changement : le consommateur n'est pas victime d'illusion monétaire |
4.2 L'équilibre du consommateur
Le consommateur choisit le panier $(x^*, y^*)$ qui maximise son utilité sous contrainte de budget. Graphiquement : le point de tangence entre la droite de budget et la courbe d'indifférence la plus élevée accessible.
$$\boxed{TMS_{x/y} = \frac{p_x}{p_y}} \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\frac{Um_x}{p_x} = \frac{Um_y}{p_y}}$$
📌 Règle d'équimarginalité (2ᵉ loi de Gossen) : à l'optimum, le dernier dirham dépensé procure la même utilité, quel que soit le bien. Si $\frac{Um_x}{p_x} > \frac{Um_y}{p_y}$, le consommateur a intérêt à acheter plus de $x$ et moins de $y$.
4.3 Résolution pratique (méthode d'examen)
$$\begin{cases} \dfrac{Um_x}{Um_y} = \dfrac{p_x}{p_y} & \text{(condition de tangence)} \\[2mm] p_x x + p_y y = R & \text{(contrainte budgétaire)} \end{cases}$$
Cas Cobb-Douglas $U = x^{\alpha}y^{\beta}$ — résultat à connaître par cœur :
$$x^* = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot \frac{R}{p_x} \qquad y^* = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \cdot \frac{R}{p_y}$$
Autrement dit, le consommateur consacre une part constante de son revenu à chaque bien.
4.4 Effet-revenu et effet-substitution
Une variation du prix de $x$ se décompose en deux effets :
| Effet | Contenu | Signe |
|---|---|---|
| Effet de substitution (ES) | À utilité constante, on substitue le bien devenu relativement moins cher | Toujours de sens opposé à la variation de prix |
| Effet de revenu (ER) | La variation de prix modifie le pouvoir d'achat réel | Négatif pour un bien normal, positif pour un bien inférieur |
$$\text{Effet total} = \text{Effet de substitution} + \text{Effet de revenu}$$
| Type de bien | ES | ER | Effet total d'une hausse de $p_x$ |
|---|---|---|---|
| Normal | ↓ | ↓ | Demande ↓ |
| Inférieur | ↓ | ↑ (faible) | Demande ↓ |
| Giffen (cas limite) | ↓ | ↑↑ (dominant) | Demande ↑ — exception à la loi de la demande |
4.5 De l'équilibre à la courbe de demande
En faisant varier $p_x$ et en relevant chaque $x^*$, on construit la courbe de demande individuelle. La demande de marché est la somme horizontale des demandes individuelles.
Exercice 1
Un consommateur a pour fonction d'utilité $U(x,y) = xy$, un revenu $R = 240$ DH, et fait face aux prix $p_x = 4$ DH et $p_y = 6$ DH.
- Écrivez l'équation de la droite de budget et calculez sa pente.
- Déterminez le panier optimal $(x^*, y^*)$ et le niveau d'utilité atteint.
- Le prix de $x$ passe à 6 DH. Déterminez le nouveau panier optimal.
- Décomposez la variation de la demande de $x$ en effet de substitution et effet de revenu (méthode de Hicks : utilité maintenue au niveau initial).
- Le bien $x$ est-il normal ou inférieur ? Justifiez.
Voir le corrigé
1) Droite de budget : $$4x + 6y = 240 \quad \Longleftrightarrow \quad y = 40 - \frac{2}{3}x$$ $$\text{Pente} = -\frac{p_x}{p_y} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$$
2) Panier optimal initial : $$Um_x = y \qquad Um_y = x \qquad TMS = \frac{y}{x}$$ Condition de tangence : $$\frac{y}{x} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{2}{3}x$$ Report dans la contrainte : $$4x + 6\left(\frac{2}{3}x\right) = 240 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4x = 240 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{x^* = 30}$$ $$y^* = \frac{2}{3}(30) = \mathbf{20} \qquad U = 30 \times 20 = \mathbf{600}$$ (On retrouve bien la règle Cobb-Douglas : $x^* = \frac{1}{2}\cdot\frac{240}{4} = 30$ et $y^* = \frac{1}{2}\cdot\frac{240}{6} = 20$ — la moitié du revenu pour chaque bien.)
3) Nouveau panier avec $p_x = 6$ : $$x^* = \frac{1}{2} \times \frac{240}{6} = \mathbf{20} \qquad y^* = \frac{1}{2} \times \frac{240}{6} = \mathbf{20} \qquad U = 400$$ Effet total sur $x$ : $20 - 30 = \mathbf{-10}$ unités.
4) Décomposition de Hicks. On cherche le panier qui, aux nouveaux prix ($p_x = p_y = 6$), permet d'atteindre l'utilité initiale $U = 600$ : $$\frac{y}{x} = \frac{6}{6} = 1 \quad \Longrightarrow \quad y = x$$ $$U = xy = x^2 = 600 \quad \Longrightarrow \quad x_H = \sqrt{600} \approx \mathbf{24{,}49}$$
| Effet | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| Effet de substitution | $x_H - x^*_{\text{initial}} = 24{,}49 - 30$ | −5,51 |
| Effet de revenu | $x^*_{\text{final}} - x_H = 20 - 24{,}49$ | −4,49 |
| Effet total | −10,00 ✓ |
Lecture : sur les 10 unités de baisse, 5,51 proviennent de la substitution (x étant devenu relativement plus cher, le consommateur s'en détourne au profit de y) et 4,49 de la perte de pouvoir d'achat (le même revenu nominal achète moins).
5) Nature du bien $x$ : il est NORMAL. L'effet de revenu est négatif ($-4{,}49$) : la hausse du prix ayant réduit le pouvoir d'achat réel, la demande de $x$ diminue de ce fait. Un bien inférieur aurait présenté un effet de revenu positif, atténuant l'effet de substitution. ⚠️ Ne jamais conclure sur la nature du bien à partir de l'effet total : seul le signe de l'effet de revenu est déterminant.
Exercice 2 — Optimum Cobb-Douglas
$U = x^2 y$ ; $R = 300$ DH ; $p_x = 10$ DH ; $p_y = 5$ DH.
- Calculez le panier optimal par la condition de tangence.
- Vérifiez avec les formules de la Cobb-Douglas.
- Le prix de $x$ passe à 20 DH. Nouveau panier ? Commentez.
Voir le corrigé
1) $Um_x = 2xy$ ; $Um_y = x^2$ ; $TMS = \dfrac{2y}{x} = \dfrac{10}{5} = 2$, donc $y = x$. Budget : $10x + 5x = 300$, soit $x^* = y^* = 20$.
2) $x^* = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{300}{10} = 20$ ; $y^* = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{300}{5} = 20$ ✓.
3) $x^* = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{300}{20} = 10$ ; $y^* = 20$ inchangé. Le consommateur consacre toujours 2/3 de son revenu à $x$ : la demande de $y$ ne dépend pas du prix de $x$.
L'essentiel — Budget et équilibre du consommateur
- Droite de budget : $p_x x + p_y y = R$ ; pente $-p_x / p_y$.
- Hausse du revenu : translation ; hausse de $p_x$ : rotation ; prix et revenu multipliés par $k$ : aucun changement (pas d'illusion monétaire).
- Équilibre : tangence $TMS = \dfrac{p_x}{p_y}$, soit $\dfrac{Um_x}{p_x} = \dfrac{Um_y}{p_y}$ (équimarginalité), avec la contrainte de budget.
- Cobb-Douglas $U = x^{\alpha}y^{\beta}$ : $x^* = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{R}{p_x}$ et $y^* = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\dfrac{R}{p_y}$ (part constante du revenu).
- Effet total d'une variation de prix = effet de substitution (toujours opposé au prix) + effet de revenu ; bien de Giffen : effet de revenu dominant, la demande augmente avec le prix.