La théorie du consommateur : utilité et préférences

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• distinguer utilité cardinale et utilité ordinale ;
• calculer l'utilité marginale et appliquer la loi de l'utilité marginale décroissante ;
• énoncer les axiomes des préférences ;
• tracer et interpréter des courbes d'indifférence ;
• calculer le taux marginal de substitution (TMS) pour les fonctions usuelles.

3.1 L'utilité

L'utilité est la satisfaction qu'un consommateur retire de la consommation d'un bien. Deux approches coexistent :

• l'approche cardinale (Jevons, Menger, Walras, vers 1870) : l'utilité est mesurable (on peut dire qu'un bien procure deux fois plus de satisfaction qu'un autre) ;
• l'approche ordinale (Pareto, Hicks) : on peut seulement classer les paniers de biens (A est préféré à B), sans mesurer l'écart. C'est l'approche retenue aujourd'hui ; une fonction d'utilité sert alors seulement à représenter ce classement.

3.2 Utilité totale et utilité marginale

L'utilité totale (UT) est la satisfaction procurée par une quantité donnée. L'utilité marginale (Um) est la satisfaction supplémentaire apportée par la dernière unité consommée :

$$Um = \frac{\Delta UT}{\Delta q} \qquad \text{ou} \qquad Um = \frac{\partial U}{\partial q}$$

Verres de thé	UT	Um
1	10	10
2	18	8
3	24	6
4	28	4
5	30	2
6	30	0
7	28	−2

Loi de l'utilité marginale décroissante (Gossen) : au-delà d'un certain point, chaque unité supplémentaire procure moins de satisfaction que la précédente. L'UT est maximale quand $Um = 0$ (point de saturation, ici à 6 verres) ; au-delà, l'Um devient négative.

3.3 Les axiomes des préférences

Le consommateur compare des paniers de biens (par exemple $x$ unités du bien X et $y$ unités du bien Y). On suppose ses préférences :

Axiome	Signification
Complètes	Il peut toujours comparer deux paniers : A préféré à B, B préféré à A, ou indifférence
Transitives	Si A est préféré à B et B à C, alors A est préféré à C (cohérence)
Non saturées (monotones)	Plus de biens est préféré à moins
Convexes	Les paniers diversifiés sont préférés aux paniers extrêmes

3.4 Les courbes d'indifférence

Une courbe d'indifférence relie tous les paniers qui procurent la même utilité. Leurs propriétés découlent des axiomes :

• elles sont décroissantes : pour garder la même satisfaction, si l'on a plus de X, il faut moins de Y ;
• plus elles sont éloignées de l'origine, plus l'utilité est élevée (non-saturation) ;
• elles ne se coupent pas (transitivité) ;
• elles sont convexes vers l'origine (préférence pour la diversité, TMS décroissant).

L'ensemble des courbes d'indifférence forme la carte d'indifférence du consommateur.

3.5 Le taux marginal de substitution

Le TMS de X à Y est la quantité de Y à laquelle le consommateur est prêt à renoncer pour obtenir une unité supplémentaire de X, en gardant la même utilité. C'est la valeur absolue de la pente de la courbe d'indifférence :

$$TMS_{X/Y} = -\frac{dy}{dx}\bigg|_{U \text{ constant}} = \frac{Um_X}{Um_Y}$$

Démonstration : le long d'une courbe d'indifférence, $dU = Um_X\,dx + Um_Y\,dy = 0$, d'où $-dy/dx = Um_X / Um_Y$.

Le TMS est décroissant le long de la courbe : plus on a de X, moins on est prêt à sacrifier de Y pour en obtenir davantage.

3.6 Les fonctions d'utilité usuelles

Fonction	Exemple	TMS	Forme des courbes
Cobb-Douglas	$U = xy$	$y / x$	Hyperboles convexes
Cobb-Douglas générale	$U = x^a y^b$	$\dfrac{a\,y}{b\,x}$	Convexes
Substituts parfaits	$U = x + 2y$	$1/2$ constant	Droites
Compléments parfaits	$U = \min(x, y)$	Non défini au coin	En L (angle droit)

Exemple : $U = xy$ au panier (4 ; 6) : $U = 24$ et $TMS = 6/4 = 1{,}5$ : le consommateur est prêt à céder 1,5 unité de Y pour une unité de X. Au panier (6 ; 4), sur la même courbe ($U = 24$), $TMS = 4/6 \approx 0{,}67$ : le TMS a diminué.

Pour les substituts parfaits $U = x + 2y$, une unité de Y vaut toujours deux unités de X (thé de deux marques que le consommateur juge équivalentes à un rapport fixe). Pour les compléments parfaits $U = \min(x, y)$, une chaussure gauche sans chaussure droite n'apporte rien.

3.7 Utilité marginale et valeur : le paradoxe de l'eau et du diamant

Adam Smith s'étonnait que l'eau, indispensable à la vie, soit bon marché, alors que le diamant, inutile, soit très cher. L'utilité marginale résout ce paradoxe. L'eau est abondante : on en consomme beaucoup, si bien que la dernière unité consommée (pour laver une voiture, arroser un jardin) apporte une utilité marginale faible. Le diamant est rare : l'utilité marginale du premier diamant est élevée. Le prix d'un bien dépend de l'utilité de la dernière unité (utilité marginale), pas de son utilité totale : l'utilité totale de l'eau reste bien supérieure à celle des diamants.

Cette idée, due aux auteurs marginalistes de la fin du XIXe siècle, relie la théorie du consommateur aux prix : un consommateur n'achète une unité supplémentaire que si l'utilité qu'elle lui procure justifie son prix. C'est ce que formalise l'équilibre du consommateur au chapitre 4. En période de sécheresse, lorsque l'eau devient rare, son utilité marginale augmente fortement, ce qui justifie des tarifs progressifs par tranches de consommation.

3.8 Méthode : exercice sur les préférences

1. Calculer les utilités marginales (dérivées partielles).
2. En déduire le TMS $= Um_X / Um_Y$ et son interprétation.
3. Pour tracer une courbe d'indifférence, fixer $U = \bar U$ et exprimer $y$ en fonction de $x$.
4. Vérifier la convexité : le TMS diminue-t-il quand $x$ augmente ?
5. Comparer des paniers en calculant leur utilité.

Les pièges à éviter

• Confondre utilité totale et utilité marginale.
• Inverser le TMS : c'est $Um_X / Um_Y$ (bien en abscisse au numérateur).
• Croire que la valeur numérique de l'utilité a un sens en approche ordinale : seul l'ordre compte.
• Dessiner des courbes d'indifférence qui se croisent.
• Oublier que l'Um décroissante n'empêche pas l'UT d'augmenter tant que l'Um reste positive.