La théorie du consommateur : utilité et préférences
3.1 Les axiomes des préférences
| Axiome | Contenu |
|---|---|
| Complétude | Le consommateur peut toujours comparer deux paniers |
| Transitivité | Si A ≻ B et B ≻ C, alors A ≻ C (cohérence) |
| Non-saturation | « Plus est préféré à moins » |
| Convexité | Les mélanges sont préférés aux extrêmes → courbes d'indifférence convexes |
3.2 Utilité totale et utilité marginale
$$Um_x = \frac{\partial U}{\partial x}$$
| Notion | Comportement |
|---|---|
| Utilité totale (UT) | Croît puis se stabilise (voire décroît en cas de saturation) |
| Utilité marginale (Um) | Décroissante : chaque unité supplémentaire procure moins de satisfaction que la précédente |
$$\text{UT est maximale lorsque } Um = 0$$
📌 Loi de Gossen (utilité marginale décroissante) : c'est elle qui explique pourquoi la courbe de demande est décroissante.
| Approche | Principe | Auteurs |
|---|---|---|
| Cardinale | L'utilité est mesurable en « utils » | Walras, Jevons, Menger |
| Ordinale | L'utilité est seulement classable (courbes d'indifférence) | Pareto, Hicks, Slutsky |
3.3 Les courbes d'indifférence
Une courbe d'indifférence relie tous les paniers procurant le même niveau d'utilité.
| Propriété | Justification |
|---|---|
| Décroissante | Pour conserver la même utilité, il faut compenser toute perte de $x$ par un gain de $y$ |
| Convexe vers l'origine | TMS décroissant |
| Ne se coupent jamais | Sinon violation de la transitivité |
| Plus elle est éloignée de l'origine, plus l'utilité est élevée | Non-saturation |
3.4 Le Taux Marginal de Substitution (TMS)
$$\boxed{TMS_{x/y} = -\frac{dy}{dx}\bigg|_{U = \bar{U}} = \frac{Um_x}{Um_y}}$$
Le TMS mesure la quantité de $y$ que le consommateur accepte d'abandonner pour une unité supplémentaire de $x$, en restant indifférent. Il est décroissant le long de la courbe.
| Cas particulier | Courbes d'indifférence | TMS |
|---|---|---|
| Biens parfaitement substituables | Droites | Constant |
| Biens parfaitement complémentaires | En L (Leontief) | Non défini au coude |
Exercice 1
Un consommateur a pour fonction d'utilité $U(x,y) = x^{0{,}5}\,y^{0{,}5}$.
- Calculez $Um_x$ et $Um_y$ et vérifiez qu'elles sont décroissantes.
- Déterminez l'expression du $TMS_{x/y}$.
- Calculez le TMS aux points $(4\,;\,16)$ et $(8\,;\,8)$ et interprétez l'évolution.
- Déterminez l'équation de la courbe d'indifférence correspondant à $U = 12$, et vérifiez sa convexité.
- Un second consommateur a $U(x,y) = 3x + 2y$. Quelle est la nature des deux biens pour lui ? Que vaut son TMS ?
Voir le corrigé
1) Utilités marginales : $$Um_x = \frac{\partial U}{\partial x} = 0{,}5\,x^{-0{,}5}y^{0{,}5} = 0{,}5\sqrt{\frac{y}{x}} \qquad Um_y = 0{,}5\,x^{0{,}5}y^{-0{,}5} = 0{,}5\sqrt{\frac{x}{y}}$$ Décroissance : $\dfrac{\partial Um_x}{\partial x} = -0{,}25\,x^{-1{,}5}y^{0{,}5} < 0$ — l'utilité marginale de $x$ décroît quand $x$ augmente ✓ (loi de Gossen).
2) TMS : $$TMS_{x/y} = \frac{Um_x}{Um_y} = \frac{0{,}5\sqrt{y/x}}{0{,}5\sqrt{x/y}} = \frac{y}{x}$$
3) Calculs : $$TMS(4\,;\,16) = \frac{16}{4} = \mathbf{4} \qquad TMS(8\,;\,8) = \frac{8}{8} = \mathbf{1}$$ Interprétation : au point $(4\,;\,16)$, le consommateur détient peu de $x$ et beaucoup de $y$ ; il accepte de sacrifier 4 unités de $y$ pour obtenir une unité de $x$. Au point $(8\,;\,8)$, il en possède davantage : il n'accepte plus d'en sacrifier qu'une seule. Le TMS est donc décroissant — traduction directe de la convexité des courbes d'indifférence.
4) Courbe d'indifférence $U = 12$ : $$x^{0{,}5}y^{0{,}5} = 12 \quad \Longleftrightarrow \quad xy = 144 \quad \Longleftrightarrow \quad y = \frac{144}{x}$$ C'est une hyperbole. Convexité : $$\frac{dy}{dx} = -\frac{144}{x^2} < 0 \quad (\text{décroissante}) \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{288}{x^3} > 0 \quad (\text{convexe}) \quad \checkmark$$
5) Second consommateur, $U = 3x + 2y$ : $$Um_x = 3 \qquad Um_y = 2 \qquad TMS_{x/y} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \quad \text{(constant)}$$ Les courbes d'indifférence sont des droites de pente $-1{,}5$ : les deux biens sont parfaitement substituables. Ce consommateur échange toujours 1,5 unité de $y$ contre 1 unité de $x$, quelles que soient les quantités déjà détenues.
Exercice 2 — TMS le long d'une courbe d'indifférence
La fonction d'utilité est $U = xy$.
- Calculez les utilités marginales et le TMS.
- Vérifiez que les paniers (4 ; 9), (6 ; 6) et (9 ; 4) sont sur la même courbe d'indifférence.
- Calculez le TMS en chacun de ces points. Que constatez-vous ?
Voir le corrigé
1) $Um_x = y$ ; $Um_y = x$ ; $TMS_{x/y} = \dfrac{y}{x}$.
2) $4 \times 9 = 6 \times 6 = 9 \times 4 = 36$ : même niveau d'utilité.
3) (4 ; 9) : $TMS = 2{,}25$ ; (6 ; 6) : $TMS = 1$ ; (9 ; 4) : $TMS \approx 0{,}44$. Le TMS diminue à mesure que le consommateur a plus de $x$ : il est prêt à céder de moins en moins de $y$ pour une unité de $x$ supplémentaire (convexité).
L'essentiel — Utilité et préférences
- Axiomes : complétude, transitivité, non-saturation, convexité.
- Utilité marginale $Um_x = \partial U / \partial x$, décroissante (loi de Gossen) ; l'utilité totale est maximale quand $Um = 0$.
- Approche cardinale (utilité mesurable) et ordinale (utilité seulement classable).
- Courbes d'indifférence : décroissantes, convexes, ne se coupent pas, plus éloignées = plus d'utilité.
- $TMS_{x/y} = -\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{Um_x}{Um_y}$ : quantité de $y$ abandonnée pour une unité de $x$ en plus ; décroissant le long de la courbe.
- Biens parfaitement substituables : TMS constant ; parfaitement complémentaires : courbes en L.