La théorie du producteur : production et productivités

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• définir la fonction de production, le court terme et le long terme ;
• calculer les productivités totale, moyenne et marginale d'un facteur ;
• énoncer la loi des rendements décroissants et identifier les trois stades de la production ;
• interpréter les isoquantes, le TMST et les rendements d'échelle ;
• déterminer la combinaison optimale des facteurs.

5.1 La fonction de production

La fonction de production $Q = f(K, L)$ indique la quantité maximale qu'une entreprise peut produire avec des quantités données de capital $K$ (machines, bâtiments) et de travail $L$, compte tenu de sa technologie.

• À court terme, au moins un facteur est fixe (en général le capital) : seule la quantité de travail peut varier.
• À long terme, tous les facteurs sont variables : l'entreprise peut agrandir son usine.

5.2 Productivités totale, moyenne et marginale

À court terme, avec $K$ fixe :

$$PT = Q(L) \qquad PM_L = \frac{Q}{L} \qquad Pm_L = \frac{dQ}{dL}$$

• La productivité moyenne (PM) est la production par travailleur.
• La productivité marginale (Pm) est la production supplémentaire due au dernier travailleur embauché.

Relations : quand $Pm > PM$, la PM augmente ; quand $Pm < PM$, elle diminue ; la courbe de Pm coupe la courbe de PM à son maximum. La PT est maximale quand $Pm = 0$.

5.3 La loi des rendements décroissants

Loi des rendements factoriels décroissants : lorsqu'on ajoute des quantités croissantes d'un facteur variable à un facteur fixe, la productivité marginale du facteur variable finit par diminuer. Exemple : dans un atelier de 10 machines, embaucher plus d'ouvriers augmente d'abord fortement la production (meilleure organisation), puis de moins en moins (les ouvriers se gênent, les machines sont saturées).

5.4 Exemple et stades de la production

Soit $Q = 6L^2 - 0{,}2L^3$ (capital fixe).

$$PM = 6L - 0{,}2L^2 \qquad Pm = 12L - 0{,}6L^2$$

Point remarquable	Condition	Résultat
Pm maximale	$dPm/dL = 12 - 1{,}2L = 0$	$L = 10$, $Pm = 60$
PM maximale ($PM = Pm$)	$dPM/dL = 6 - 0{,}4L = 0$	$L = 15$, $PM = Pm = 45$
PT maximale ($Pm = 0$)	$12L - 0{,}6L^2 = 0$	$L = 20$, $PT = 800$

Les trois stades :

• Stade I ($L < 15$) : la PM augmente ; l'entreprise a intérêt à embaucher davantage, le capital est sous-utilisé.
• Stade II ($15 \le L \le 20$) : PM et Pm décroissantes mais Pm positive : c'est la zone économique où un producteur rationnel se situe.
• Stade III ($L > 20$) : Pm négative : ajouter un travailleur fait baisser la production.

5.5 Le long terme : isoquantes et TMST

Une isoquante relie toutes les combinaisons $(L, K)$ qui permettent de produire la même quantité. Elle est décroissante et convexe, comme une courbe d'indifférence.

Le taux marginal de substitution technique (TMST) est la quantité de capital que l'on peut retirer quand on ajoute une unité de travail, à production constante :

$$TMST_{L/K} = -\frac{dK}{dL} = \frac{Pm_L}{Pm_K}$$

5.6 Les rendements d'échelle

On multiplie tous les facteurs par $\lambda > 1$ :

Si la production est multipliée par…	Rendements d'échelle
plus que $\lambda$	Croissants (économies d'échelle techniques, spécialisation)
exactement $\lambda$	Constants
moins que $\lambda$	Décroissants (difficultés de coordination)

Pour une Cobb-Douglas $Q = A K^\alpha L^\beta$ : rendements croissants si $\alpha + \beta > 1$, constants si $= 1$, décroissants si $< 1$. Ne pas confondre avec les rendements factoriels (un seul facteur varie).

5.7 La combinaison optimale des facteurs

L'entreprise paie un salaire $w$ par unité de travail et un coût $r$ par unité de capital. Son isocoût $C = wL + rK$ a une pente $-w/r$. Pour produire une quantité donnée au coût minimal, elle choisit le point où l'isoquante est tangente à l'isocoût :

$$TMST = \frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{w}{r} \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{Pm_L}{w} = \frac{Pm_K}{r}$$

Exemple : $Q = 4K^{0{,}5}L^{0{,}5}$, $w = 10$, $r = 40$, $Q = 200$.

• $Pm_L / Pm_K = K / L = w / r = 1/4$, donc $K = L/4$.
• $4\sqrt{K L} = 200 \Rightarrow \sqrt{L^2/4} = 50 \Rightarrow L = 100$, $K = 25$.
• Coût minimal : $10 \times 100 + 40 \times 25 = 2\,000$. Rendements d'échelle constants ($0{,}5 + 0{,}5 = 1$).

L'ensemble des combinaisons optimales pour différents niveaux de production forme le sentier d'expansion.

5.8 Combien de travailleurs embaucher ?

La productivité marginale permet de déterminer l'emploi. Une entreprise en concurrence vend son produit au prix $P$ et paie un salaire $w$. Le dernier travailleur rapporte la valeur de sa productivité marginale $P \times Pm_L$ et coûte $w$. L'entreprise embauche tant que $P \times Pm_L > w$, et s'arrête lorsque :

$P \times Pm_L = w$

Exemple avec $Q = 6L^2 - 0{,}2L^3$, un prix de 2 DH et un salaire journalier de 60 DH : $2 \times (12L - 0{,}6L^2) = 60$, soit $L^2 - 20L + 50 = 0$, dont la racine située dans le stade II est $L = 10 + \sqrt{50} \approx 17{,}1$. L'entreprise emploiera environ 17 travailleurs, entre 15 et 20, comme le prévoit l'analyse des stades. Si le salaire augmente, la valeur de la productivité marginale doit être plus élevée, ce qui réduit l'emploi : c'est la base de la demande de travail de l'entreprise.

5.9 Méthode : exercice de production

1. Écrire PM et Pm à partir de la fonction de production.
2. Chercher les points remarquables : maximum de Pm, maximum de PM (où $PM = Pm$), maximum de PT ($Pm = 0$).
3. Délimiter les trois stades et la zone économique.
4. À long terme : TMST $= Pm_L / Pm_K$, rendements d'échelle ($\alpha + \beta$).
5. Combinaison optimale : $TMST = w / r$ + contrainte de production ; calculer le coût.

Les pièges à éviter

• Confondre rendements factoriels (court terme, un facteur varie) et rendements d'échelle (long terme, tous les facteurs varient).
• Chercher le maximum de la PM en posant $PM = 0$ : c'est $dPM/dL = 0$ (ou $PM = Pm$).
• Placer le producteur rationnel au stade I ou III : il produit au stade II.
• Inverser le rapport $w / r$.
• Oublier que la Pm peut être négative alors que la PT est encore positive.