La théorie du producteur : production et productivités
5.1 La fonction de production
$$Q = f(K, L) \qquad K = \text{capital}, \; L = \text{travail}$$
| Horizon | Caractéristique |
|---|---|
| Court terme | Au moins un facteur est fixe (généralement $K$) |
| Long terme | Tous les facteurs sont variables |
5.2 Les productivités
$$PM_L = \frac{Q}{L} \quad \text{(productivité moyenne)} \qquad Pm_L = \frac{\partial Q}{\partial L} \quad \text{(productivité marginale)}$$
Relation fondamentale :
| Si | Alors |
|---|---|
| $Pm_L > PM_L$ | $PM_L$ croît |
| $Pm_L = PM_L$ | $PM_L$ est maximale |
| $Pm_L < PM_L$ | $PM_L$ décroît |
| $Pm_L = 0$ | $Q$ est maximale |
📌 C'est la même logique que la moyenne des notes : une note supplémentaire supérieure à la moyenne fait monter la moyenne.
5.3 La loi des rendements marginaux décroissants (court terme)
Lorsqu'on augmente un facteur variable, les autres restant fixes, la productivité marginale finit nécessairement par décroître.
| Phase | Caractéristique | Zone rationnelle ? |
|---|---|---|
| Phase I | $Pm$ croissante puis $Pm > PM$ | Non : il faut continuer d'embaucher |
| Phase II | $Pm$ décroissante, $0 < Pm < PM$ | Oui — zone de production rationnelle |
| Phase III | $Pm < 0$ | Non : produire moins en embauchant plus est absurde |
5.4 Les rendements d'échelle (long terme)
On multiplie tous les facteurs par $\lambda > 1$ :
| Si | Rendements |
|---|---|
| $f(\lambda K, \lambda L) > \lambda f(K,L)$ | Croissants (économies d'échelle) |
| $f(\lambda K, \lambda L) = \lambda f(K,L)$ | Constants |
| $f(\lambda K, \lambda L) < \lambda f(K,L)$ | Décroissants |
Cas Cobb-Douglas $Q = A K^{\alpha}L^{\beta}$ : les rendements dépendent de $\alpha + \beta$ ($>1$ croissants, $=1$ constants, $<1$ décroissants).
5.5 Isoquantes et combinaison optimale des facteurs
L'isoquante relie toutes les combinaisons $(K, L)$ donnant la même production. Sa pente est le TMST :
$$TMST_{L/K} = \frac{Pm_L}{Pm_K}$$
Combinaison optimale des facteurs (minimisation du coût pour une production donnée) :
$$\boxed{\frac{Pm_L}{w} = \frac{Pm_K}{r}} \qquad \text{soit} \qquad TMST_{L/K} = \frac{w}{r}$$
où $w$ est le taux de salaire et $r$ le coût d'usage du capital. C'est l'exacte symétrie de l'équilibre du consommateur.
Exercice 1
Une entreprise a pour fonction de production de court terme (capital fixe) :
$$Q(L) = -L^3 + 12L^2 + 60L$$
où $L$ est le nombre de travailleurs.
- Déterminez les expressions de $PM_L$ et $Pm_L$.
- Calculez le niveau de $L$ qui maximise la productivité marginale.
- Calculez le niveau de $L$ qui maximise la productivité moyenne et vérifiez que $Pm_L = PM_L$ en ce point.
- Calculez le niveau de $L$ qui maximise la production totale, et la production correspondante.
- Délimitez les trois phases de la production et indiquez la zone rationnelle.
Voir le corrigé
1) Productivités : $$PM_L = \frac{Q}{L} = \frac{-L^3 + 12L^2 + 60L}{L} = -L^2 + 12L + 60$$ $$Pm_L = \frac{dQ}{dL} = -3L^2 + 24L + 60$$
2) Maximum de la productivité marginale : $$\frac{dPm_L}{dL} = -6L + 24 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{L = 4}$$ $$Pm_L(4) = -3(16) + 24(4) + 60 = -48 + 96 + 60 = \mathbf{108}$$ (Second ordre : $-6 < 0$ → maximum ✓)
3) Maximum de la productivité moyenne : $$\frac{dPM_L}{dL} = -2L + 12 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{L = 6}$$ $$PM_L(6) = -36 + 72 + 60 = \mathbf{96}$$ Vérification de la relation fondamentale : $$Pm_L(6) = -3(36) + 24(6) + 60 = -108 + 144 + 60 = \mathbf{96} = PM_L(6) \quad \checkmark$$ 📌 La courbe de productivité marginale coupe bien celle de la productivité moyenne en son maximum.
4) Maximum de la production totale : il est atteint lorsque $Pm_L = 0$ : $$-3L^2 + 24L + 60 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad L^2 - 8L - 20 = 0$$ $$\Delta = 64 + 80 = 144 \; ; \; \sqrt{\Delta} = 12 \quad \Longrightarrow \quad L = \frac{8 + 12}{2} = \mathbf{10} \quad (\text{la racine } -2 \text{ est rejetée})$$ $$Q(10) = -1000 + 1200 + 600 = \mathbf{800\ \text{unités}}$$
5) Les trois phases :
| Phase | Intervalle | Caractéristique | Rationnelle ? |
|---|---|---|---|
| Phase I | $0 < L < 6$ | $Pm_L > PM_L$, la productivité moyenne croît | ❌ Non — il faut embaucher davantage |
| Phase II | $6 \leq L \leq 10$ | $Pm_L < PM_L$ mais $Pm_L > 0$, $Q$ croît encore | ✅ Zone rationnelle |
| Phase III | $L > 10$ | $Pm_L < 0$, la production diminue | ❌ Non — embaucher réduit la production |
Conclusion : l'entreprise choisit son effectif dans l'intervalle $[6\,;\,10]$. Le point exact dépend du prix de vente et du salaire (chapitre 7).
Exercice 2 — Productivités de court terme
À court terme, $Q = 12L^2 - L^3$.
- Donnez $PM_L$ et $Pm_L$.
- Pour quelle quantité de travail la productivité moyenne est-elle maximale ? Quelle est sa valeur ?
- Pour quelle quantité la production est-elle maximale ? Déduisez la zone de production rationnelle.
- La fonction de long terme d'une autre entreprise est $Q = K^{0{,}3}L^{0{,}5}$. Nature des rendements d'échelle ?
Voir le corrigé
1) $PM_L = 12L - L^2$ ; $Pm_L = 24L - 3L^2$.
2) $Pm_L = PM_L$ : $24L - 3L^2 = 12L - L^2$, soit $12L = 2L^2$ et $L = 6$ ; $PM_L = 72 - 36 = 36$.
3) $Pm_L = 0$ : $24L = 3L^2$, soit $L = 8$ ; $Q_{max} = 768 - 512 = 256$. Zone rationnelle : $6 \leq L \leq 8$.
4) $0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8 < 1$ : rendements d'échelle décroissants.
L'essentiel — Production et productivités
- $Q = f(K, L)$ ; court terme : au moins un facteur fixe ; long terme : tout est variable.
- $PM_L = Q / L$ ; $Pm_L = \partial Q / \partial L$ ; $PM_L$ est maximale quand $Pm_L = PM_L$ ; $Q$ est maximale quand $Pm_L = 0$.
- Rendements marginaux décroissants à court terme ; zone rationnelle de production (phase II) : entre le maximum de $PM_L$ et $Pm_L = 0$.
- Rendements d'échelle : croissants, constants, décroissants ; Cobb-Douglas $AK^{\alpha}L^{\beta}$ selon que $\alpha + \beta > 1$, $= 1$ ou $< 1$.
- Isoquante : même production ; $TMST_{L/K} = Pm_L / Pm_K$.
- Combinaison optimale : $\dfrac{Pm_L}{w} = \dfrac{Pm_K}{r}$.