Matrices et calcul matriciel

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• reconnaître les principaux types de matrices et leur transposée ;
• additionner des matrices, les multiplier par un réel et entre elles ;
• calculer un déterminant d'ordre 2 et 3 ;
• calculer l'inverse d'une matrice d'ordre 2 et 3 ;
• appliquer le calcul matriciel à des problèmes économiques (ventes, modèle de Leontief).

7.1 Définitions

Une matrice de type $(n, p)$ est un tableau de nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes. On note $a_{ij}$ l'élément de la ligne $i$ et de la colonne $j$.

Type	Définition	Exemple
Carrée d'ordre $n$	$n$ lignes et $n$ colonnes	$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
Identité $I_n$	1 sur la diagonale, 0 ailleurs	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Diagonale	Éléments nuls hors de la diagonale	$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
Triangulaire supérieure	Éléments nuls sous la diagonale	$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Vecteur colonne	Matrice de type $(n, 1)$	$\begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix}$

La transposée $A^T$ s'obtient en échangeant lignes et colonnes : $(A^T)_{ij} = a_{ji}$.

7.2 Opérations

• Somme $A + B$ (même type) : on additionne terme à terme.
• Produit par un réel $kA$ : on multiplie chaque terme par $k$.
• Produit matriciel $AB$ : défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$. Le terme $(i, j)$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ :

$$(AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}\,b_{kj}$$

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ :

$$AC = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \qquad CA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}$$

Le produit matriciel n'est pas commutatif : $AC \neq CA$. Il est associatif et $AI = IA = A$.

Application : deux magasins vendent trois produits. Les quantités vendues sont $Q = \begin{pmatrix} 10 & 20 & 5 \\ 8 & 15 & 12 \end{pmatrix}$ et les prix $P = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \\ 100 \end{pmatrix}$. Le chiffre d'affaires de chaque magasin est $QP = \begin{pmatrix} 1\,600 \\ 2\,050 \end{pmatrix}$.

7.3 Le déterminant

Ordre 2 :

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Ordre 3 (développement selon la première ligne) :

$$\det A = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

On peut développer selon n'importe quelle ligne ou colonne, en respectant les signes alternés $(-1)^{i+j}$ ; on choisit celle qui contient le plus de zéros. La règle de Sarrus est une autre méthode pour l'ordre 3.

Propriétés : $\det(AB) = \det A \times \det B$ ; $\det A^T = \det A$ ; si deux lignes sont égales ou proportionnelles, le déterminant est nul ; échanger deux lignes change le signe.

7.4 L'inverse d'une matrice

Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Elle l'est si et seulement si $\det A \neq 0$.

Ordre 2 :

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\det A = 5$ : $A^{-1} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$.

Ordre 3 : $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,{}^t\text{com}(A)$, où la comatrice $\text{com}(A)$ contient les cofacteurs $C_{ij} = (-1)^{i+j} \times$ (déterminant obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$). On vérifie toujours le résultat par $AA^{-1} = I$.

7.5 Le rang

Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes (ou de colonnes) linéairement indépendantes. Une matrice carrée d'ordre $n$ est inversible si et seulement si son rang est $n$. On le détermine par la méthode du pivot de Gauss (chapitre 8).

7.6 Application : le modèle de Leontief

Wassily Leontief (prix Nobel 1973) décrit une économie à plusieurs branches qui s'achètent mutuellement des consommations intermédiaires. La matrice des coefficients techniques $A$ indique ce que chaque branche consomme par unité produite. Pour satisfaire une demande finale $d$, la production $x$ doit vérifier :

$$x = Ax + d \quad \Leftrightarrow \quad (I - A)\,x = d \quad \Leftrightarrow \quad x = (I - A)^{-1}\,d$$

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$, $d = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \end{pmatrix}$. $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix}$, déterminant $0{,}72 - 0{,}12 = 0{,}6$ :

$$(I - A)^{-1} = \frac{1}{0{,}6} \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}8 \end{pmatrix} \qquad x = \begin{pmatrix} 250 \\ 333{,}33 \end{pmatrix}$$

Vérification : $0{,}2 \times 250 + 0{,}3 \times 333{,}33 + 100 = 250$ ✓.

7.7 Méthode : calcul matriciel

1. Vérifier les types avant toute opération (produit défini ?).
2. Pour un produit, calculer terme par terme « ligne × colonne ».
3. Pour un déterminant d'ordre 3, développer selon la ligne ou la colonne la plus simple.
4. Pour l'inverse : vérifier $\det \neq 0$, calculer les cofacteurs, transposer, diviser par le déterminant.
5. Contrôler : $AA^{-1} = I$.

Les pièges à éviter

• Supposer que $AB = BA$.
• Multiplier des matrices de types incompatibles.
• Oublier les signes alternés des cofacteurs.
• Oublier de transposer la comatrice.
• Chercher l'inverse d'une matrice de déterminant nul.