Logique et raisonnement mathématique

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• utiliser les connecteurs logiques et construire une table de vérité ;
• nier une proposition, notamment avec des quantificateurs ;
• distinguer implication, réciproque, contraposée et équivalence ;
• conduire un raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction de cas ou par contre-exemple ;
• rédiger une démonstration par récurrence.

1.1 Propositions et connecteurs

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F) : « 7 est un nombre premier » (V), « 2 + 2 = 5 » (F). À partir de propositions $P$ et $Q$, on en construit d'autres avec des connecteurs :

$P$	$Q$	non $P$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \Leftrightarrow Q$
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

• Le « ou » mathématique est inclusif : $P$ ou $Q$ est vrai si au moins l'une des deux est vraie.
• L'implication $P \Rightarrow Q$ n'est fausse que si $P$ est vraie et $Q$ fausse. On dit que $P$ est une condition suffisante pour $Q$, et $Q$ une condition nécessaire pour $P$.
• L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ signifie $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$ : condition nécessaire et suffisante.

1.2 Négations et lois de De Morgan

$$\text{non}(P \text{ et } Q) \equiv (\text{non } P) \text{ ou } (\text{non } Q) \qquad \text{non}(P \text{ ou } Q) \equiv (\text{non } P) \text{ et } (\text{non } Q)$$

$$\text{non}(P \Rightarrow Q) \equiv P \text{ et } (\text{non } Q)$$

Exemple : la négation de « le prix augmente et la demande baisse » est « le prix n'augmente pas ou la demande ne baisse pas ».

1.3 Réciproque et contraposée

À partir de $P \Rightarrow Q$ :

• la réciproque est $Q \Rightarrow P$ : elle peut être fausse même si l'implication est vraie ;
• la contraposée est $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ : elle a toujours la même valeur de vérité que l'implication.

Exemple : « si $x = 2$, alors $x^2 = 4$ » est vraie ; sa réciproque « si $x^2 = 4$, alors $x = 2$ » est fausse ($x = -2$) ; sa contraposée « si $x^2 \neq 4$, alors $x \neq 2$ » est vraie.

1.4 Les quantificateurs

• $\forall$ : « pour tout » ; $\exists$ : « il existe » ; $\exists!$ : « il existe un unique ».
• Négation : on échange $\forall$ et $\exists$ et on nie la propriété :

$$\text{non}(\forall x,\ P(x)) \equiv \exists x,\ \text{non } P(x) \qquad \text{non}(\exists x,\ P(x)) \equiv \forall x,\ \text{non } P(x)$$

Exemple : la négation de « $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$ » est « $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$ ». L'ordre des quantificateurs compte : « $\forall x, \exists y,\ y > x$ » est vraie dans $\mathbb{R}$ ; « $\exists y, \forall x,\ y > x$ » est fausse (il n'existe pas de plus grand réel).

1.5 Les modes de raisonnement

Raisonnement	Principe	Quand l'utiliser
Direct	On suppose $P$ vraie et on en déduit $Q$ par étapes	Cas général
Par contraposée	On montre non $Q$ ⇒ non $P$	Quand non $Q$ donne une information plus utilisable
Par l'absurde	On suppose le contraire de ce qu'on veut montrer et on aboutit à une contradiction	Irrationalité, unicité, inexistence
Par disjonction de cas	On examine tous les cas possibles (x pair ou impair, x positif ou négatif)	Valeurs absolues, parité
Par contre-exemple	Un seul exemple suffit à montrer qu'une propriété universelle est fausse	Réfuter un « pour tout »
Par récurrence	On montre une propriété pour tous les entiers $n \ge n_0$	Sommes, inégalités sur les entiers, suites

Exemple de contraposée : montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. Contraposée : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$, alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair. La contraposée est vraie, donc la proposition aussi.

1.6 Le raisonnement par récurrence

Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour un $n \ge n_0$ quelconque (hypothèse de récurrence) et montrer $P(n + 1)$.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.

Exemple : $\forall n \ge 1,\ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.

• Initialisation : pour $n = 1$, $1 = \dfrac{1 \times 2}{2}$ ✓.
• Hérédité : si $1 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$, alors $1 + \dots + n + (n + 1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n + 1) = \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}$, qui est $P(n + 1)$ ✓.

1.7 La logique dans le raisonnement économique

Les économistes utilisent en permanence les notions de condition nécessaire et suffisante. En microéconomie, « le profit est maximal » implique « la recette marginale égale le coût marginal » : l'égalité $Rm = Cm$ est une condition nécessaire (condition du premier ordre), mais pas suffisante, car elle est aussi vérifiée en un minimum du profit. Il faut ajouter une condition du second ordre pour conclure (chapitre 6). De même, une corrélation entre deux variables ne prouve pas une causalité : confondre « A accompagne B » et « A implique B » est une erreur de logique fréquente dans les débats économiques. Enfin, une affirmation générale (« toute hausse du salaire minimum réduit l'emploi ») est réfutée par un seul contre-exemple empirique solide.

1.8 Méthode : rédiger une démonstration

1. Identifier la forme de l'énoncé (implication, équivalence, « pour tout », « il existe »).
2. Choisir le raisonnement adapté (tableau du 1.5).
3. Écrire les hypothèses et ce qu'il faut démontrer.
4. Enchaîner des étapes justifiées (« donc », « car »).
5. Conclure en rappelant l'énoncé démontré.

Les pièges à éviter

• Confondre la réciproque et la contraposée.
• Nier « et » par « et » : la négation de « $P$ et $Q$ » est « non $P$ ou non $Q$ ».
• Nier un quantificateur sans changer $\forall$ en $\exists$ (ou l'inverse).
• Oublier l'initialisation dans une récurrence.
• Croire qu'un exemple suffit à démontrer une propriété universelle : il ne suffit que pour la réfuter.