Les suites numériques
3.1 Définitions
Une suite $(u_n)$ est une application de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$. On peut la définir :
- explicitement : $u_n = f(n)$, par exemple $u_n = 3n + 2$ ;
- par récurrence : $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$.
3.2 Suite arithmétique
$$u_{n+1} = u_n + r \quad \Longrightarrow \quad \boxed{u_n = u_0 + n\,r} \quad \text{ou} \quad u_n = u_p + (n-p)\,r$$
Somme des $n+1$ premiers termes :
$$S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}$$
📌 Règle mnémotechnique : $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
3.3 Suite géométrique
$$u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \Longrightarrow \quad \boxed{u_n = u_0 \cdot q^{\,n}} \quad \text{ou} \quad u_n = u_p \cdot q^{\,n-p}$$
Somme des $n+1$ premiers termes (pour $q \neq 1$) :
$$S = u_0 \cdot \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$$
| Valeur de $q$ | Comportement de $q^n$ quand $n \to +\infty$ |
|---|---|
| $\lvert q \rvert < 1$ | $q^n \to 0$ → la suite converge vers 0 |
| $q = 1$ | Suite constante |
| $q > 1$ | $q^n \to +\infty$ → la suite diverge |
📌 C'est la suite la plus utile en gestion : un capital placé à intérêts composés au taux $i$ suit $C_n = C_0(1+i)^n$ — tu retrouveras exactement cette formule en Mathématiques financières (S2).
3.4 Monotonie et convergence
| Notion | Critère |
|---|---|
| Croissante | $u_{n+1} - u_n \geq 0$ (ou $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ si $u_n > 0$) |
| Décroissante | $u_{n+1} - u_n \leq 0$ |
| Majorée / minorée / bornée | $\exists M, \forall n,\; u_n \leq M$ / $\geq m$ / les deux |
| Convergente | $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}$ |
Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Exercice 1
Une entreprise marocaine réalise un chiffre d'affaires de 2 000 000 DH en 2026.
Partie A. Elle prévoit une progression de 150 000 DH par an.
- Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ du CA, $u_0$ étant le CA de 2026 ?
- Exprimez $u_n$ puis calculez le CA prévu en 2032.
- Calculez le cumul du CA de 2026 à 2032 inclus.
Partie B. Un concurrent réalise le même CA en 2026 mais prévoit une croissance de 6 % par an. 4. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Exprimez $v_n$. 5. Calculez $v_6$ (CA de 2032) et comparez avec $u_6$. 6. À partir de quelle année le concurrent dépasse-t-il l'entreprise ? (raisonnement chiffré)
Voir le corrigé
Partie A
1) Le CA augmente d'une quantité constante : c'est une suite arithmétique de raison $r = 150\,000$ et de premier terme $u_0 = 2\,000\,000$.
2) $$u_n = 2\,000\,000 + 150\,000\,n$$ En 2032, $n = 6$ : $$u_6 = 2\,000\,000 + 150\,000 \times 6 = 2\,000\,000 + 900\,000 = \mathbf{2\,900\,000\ DH}$$
3) Cumul de $u_0$ à $u_6$, soit 7 termes : $$S = 7 \times \frac{u_0 + u_6}{2} = 7 \times \frac{2\,000\,000 + 2\,900\,000}{2} = 7 \times 2\,450\,000 = \mathbf{17\,150\,000\ DH}$$
Partie B
4) Le CA est multiplié par un coefficient constant $1{,}06$ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}06$. $$v_n = 2\,000\,000 \times (1{,}06)^n$$
5) $$v_6 = 2\,000\,000 \times (1{,}06)^6 = 2\,000\,000 \times 1{,}418519 \approx \mathbf{2\,837\,038\ DH}$$ En 2032, le concurrent est encore en dessous ($2\,837\,038 < 2\,900\,000$), avec un écart d'environ 63 000 DH.
6) Année de dépassement. On cherche le plus petit $n$ tel que $v_n > u_n$ :
| $n$ | Année | $u_n$ (arithmétique) | $v_n$ (géométrique) | $v_n > u_n$ ? |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 2032 | 2 900 000 | 2 837 038 | Non |
| 7 | 2033 | 3 050 000 | 3 007 260 | Non |
| 8 | 2034 | 3 200 000 | 3 187 696 | Non |
| 9 | 2035 | 3 350 000 | 3 378 958 | Oui |
Le concurrent dépasse l'entreprise en 2035 ($n = 9$). 📌 La leçon économique de l'exercice : une croissance géométrique (en pourcentage) finit toujours par l'emporter sur une croissance arithmétique (en valeur absolue), même si elle paraît plus faible au départ. C'est exactement le mécanisme des intérêts composés.
Exercice 2 — Salaire et épargne
- Un salaire annuel est de 60 000 DH la première année ($u_0$) et augmente de 2 400 DH par an. Donnez $u_n$, le salaire de la 11ᵉ année ($u_{10}$) et le total perçu sur les 10 premières années.
- Un capital de 10 000 DH est placé à 5 % par an (intérêts composés). Donnez $C_n$ et $C_{10}$.
- Étudiez la limite de $v_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$.
Voir le corrigé
1) Suite arithmétique de raison 2 400 : $u_n = 60\,000 + 2\,400n$ ; $u_{10} = 84\,000$ DH. Total des années 1 à 10 ($u_0$ à $u_9$) : $10 \times \dfrac{60\,000 + 81\,600}{2} = 708\,000$ DH.
2) Suite géométrique de raison 1,05 : $C_n = 10\,000 \times 1{,}05^n$ ; $C_{10} \approx 16\,289$ DH.
3) $v_n = \dfrac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 3/n)} \to 2$.
L'essentiel — Les suites
- Suite définie explicitement ($u_n = f(n)$) ou par récurrence ($u_{n+1} = f(u_n)$).
- Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ ; $u_n = u_0 + nr$ ; somme $= \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
- Géométrique : $u_{n+1} = q\,u_n$ ; $u_n = u_0 q^n$ ; somme de $n$ termes $= u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ ($q \neq 1$).
- Monotonie : signe de $u_{n+1} - u_n$ (ou rapport $u_{n+1} / u_n$ pour une suite positive).
- Convergence : $q^n \to 0$ si $|q| < 1$ ; une suite croissante et majorée converge.
- Applications : intérêts simples (arithmétique), intérêts composés (géométrique).