Les suites numériques

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• définir une suite de façon explicite ou par récurrence ;
• reconnaître et utiliser les suites arithmétiques et géométriques (terme général, somme) ;
• étudier le sens de variation et la convergence d'une suite ;
• traiter une suite arithmético-géométrique à l'aide d'une suite auxiliaire ;
• modéliser des situations économiques (salaires, intérêts, stocks, population).

3.1 Définitions

Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$. Elle peut être définie :

• explicitement : $u_n = 3n + 1$ ;
• par récurrence : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

Sens de variation : $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \le u_n$. On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou, pour une suite positive, on compare $u_{n+1}/u_n$ à 1.

Suite bornée : il existe $m$ et $M$ tels que $m \le u_n \le M$ pour tout $n$.

3.2 Les suites arithmétiques

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ : on ajoute toujours la même quantité.

$$u_n = u_0 + n\,r \qquad u_n = u_p + (n - p)\,r$$

$$S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$$

Elle est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.

Exemple : un salaire annuel de 60 000 DH augmente de 2 000 DH chaque année. Après 10 ans : $u_{10} = 60\,000 + 10 \times 2\,000 = 80\,000$ DH. Total perçu sur les 11 années (de $u_0$ à $u_{10}$) : $11 \times \dfrac{60\,000 + 80\,000}{2} = 770\,000$ DH.

3.3 Les suites géométriques

$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q \times u_n$ : on multiplie toujours par le même nombre.

$$u_n = u_0 \times q^n \qquad S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$

Une hausse de $t\,\%$ par période correspond à une suite géométrique de raison $q = 1 + t$.

Exemple : un capital de 10 000 DH placé à intérêts composés au taux annuel de 5 % vaut après 8 ans : $10\,000 \times 1{,}05^8 \approx 14\,774{,}55$ DH. Avec des intérêts simples (suite arithmétique), il vaudrait $10\,000 + 8 \times 500 = 14\,000$ DH.

3.4 Limites des suites

Une suite converge vers $\ell$ si ses termes se rapprochent aussi près que l'on veut de $\ell$ à partir d'un certain rang ; sinon elle diverge.

Suite	Comportement
Arithmétique de raison $r > 0$	Tend vers $+\infty$
Arithmétique de raison $r < 0$	Tend vers $-\infty$
$q^n$ avec $q > 1$	Tend vers $+\infty$
$q^n$ avec $-1 < q < 1$	Tend vers $0$
$q^n$ avec $q = 1$	Constante égale à 1
$q^n$ avec $q \le -1$	N'a pas de limite

Théorème : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

3.5 Les suites arithmético-géométriques

Elles sont de la forme $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$. Méthode :

1. Chercher le point fixe $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$, soit $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$.
2. Poser $v_n = u_n - \ell$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. En déduire $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$.
4. Si $|a| < 1$, $u_n$ converge vers $\ell$.

Exemple : $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 100$. Point fixe : $\ell = 100 / 0{,}2 = 500$. $v_n = u_n - 500$ est géométrique de raison 0,8 et $v_0 = -300$. Donc $u_n = 500 - 300 \times 0{,}8^n$, qui tend vers 500.

Applications : évolution d'un stock avec un taux de perte et un apport constant, d'un effectif d'abonnés avec un taux de départ et des arrivées fixes, remboursement d'un emprunt.

3.6 Application financière : l'épargne régulière

Une personne verse 5 000 DH à la fin de chaque année sur un compte rémunéré à 4 % par an (intérêts composés). À la fin de la 10e année, le premier versement a produit des intérêts pendant 9 ans, le deuxième pendant 8 ans… et le dernier n'en a produit aucun. La valeur acquise est donc la somme d'une suite géométrique de raison 1,04 :

$V = 5\,000 + 5\,000 \times 1{,}04 + \dots + 5\,000 \times 1{,}04^9 = 5\,000 \times \frac{1{,}04^{10} - 1}{0{,}04} \approx 60\,030{,}54 \text{ DH}$

Les versements totalisent 50 000 DH ; les intérêts représentent environ 10 030 DH. Cette formule de la valeur acquise d'une suite d'annuités constantes sera développée en mathématiques financières (S2), ainsi que la valeur actuelle, qui sert à calculer les mensualités d'un emprunt. Toutes reposent sur la somme des termes d'une suite géométrique.

3.7 Méthode : exercice sur les suites

1. Identifier la nature de la suite : on ajoute (arithmétique) ou on multiplie (géométrique) ; forme $a u_n + b$ (arithmético-géométrique).
2. Écrire le terme général en faisant attention au premier indice ($u_0$ ou $u_1$).
3. Pour une somme : compter le nombre de termes.
4. Étudier la limite et interpréter économiquement.
5. Vérifier en calculant les premiers termes.

Les pièges à éviter

• Se tromper sur le nombre de termes : de $u_0$ à $u_n$, il y a $n + 1$ termes.
• Confondre intérêts simples (arithmétique) et composés (géométrique).
• Écrire $u_n = u_0 \times q^{n+1}$ au lieu de $q^n$ quand la suite commence à $u_0$.
• Oublier que $q^n$ tend vers 0 seulement si $|q| < 1$.
• Chercher le point fixe d'une suite arithmético-géométrique avec $a = 1$ (c'est alors une suite arithmétique).