Les systèmes d'équations linéaires

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• écrire un système linéaire sous forme matricielle $AX = B$ ;
• résoudre un système par la méthode de Cramer ;
• résoudre un système par le pivot de Gauss ;
• utiliser l'inverse d'une matrice pour résoudre un système ;
• discuter un système (solution unique, infinité de solutions, aucune solution) et l'appliquer à des problèmes économiques.

8.1 Écriture matricielle

Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$, où $A$ est la matrice des coefficients, $X$ le vecteur des inconnues et $B$ le vecteur des seconds membres.

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Le système est dit de Cramer si $\det A \neq 0$ : il admet alors une solution unique $X = A^{-1}B$.

8.2 La méthode de Cramer

Pour un système de Cramer, chaque inconnue est un quotient de déterminants :

$$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$

où $A_i$ est la matrice $A$ dans laquelle la colonne $i$ est remplacée par $B$.

Exemple précédent : $\det A = 2 \times (-1) - 3 \times 1 = -5$.

$$x = \frac{\begin{vmatrix} 12 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-12 - 3}{-5} = 3 \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 12 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{2 - 12}{-5} = 2$$

Vérification : $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ ✓ ; $3 - 2 = 1$ ✓.

La méthode est rapide pour 2 ou 3 inconnues, mais devient lourde au-delà.

8.3 La méthode du pivot de Gauss

On transforme le système en un système triangulaire équivalent par des opérations élémentaires sur les lignes :

• échanger deux lignes ;
• multiplier une ligne par un réel non nul ;
• ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.

Puis on résout de proche en proche en remontant (substitution).

Exemple :

$$\begin{cases} x + y + z = 6 & (L_1) \\ 2x - y + z = 3 & (L_2) \\ x + 2y - z = 2 & (L_3) \end{cases}$$

• $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $-3y - z = -9$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $y - 2z = -4$.
• $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ : $3y - 6z - 3y - z = -12 - 9$, soit $-7z = -21$, donc $z = 3$.
• Remontée : $y - 6 = -4 \Rightarrow y = 2$ ; $x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$.

Solution : $(1 ; 2 ; 3)$, que l'on vérifie dans les trois équations.

8.4 La méthode matricielle

Si $A$ est inversible, $X = A^{-1}B$. Cette méthode est intéressante quand on doit résoudre plusieurs systèmes ayant la même matrice $A$ et des seconds membres différents (par exemple plusieurs scénarios de demande dans le modèle de Leontief, chapitre 7).

8.5 La discussion d'un système

Situation	Caractéristique	Nombre de solutions
$\det A \neq 0$	Système de Cramer	Une seule solution
$\det A = 0$ et équations compatibles	Une équation est combinaison des autres	Infinité de solutions (paramètre libre)
$\det A = 0$ et équations contradictoires	Le pivot de Gauss aboutit à $0 = c$ avec $c \neq 0$	Aucune solution

Exemples : $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$ a une infinité de solutions ($x = 4 - 2y$) ; $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$ n'en a aucune (droites parallèles distinctes).

8.6 Applications économiques

Équilibre simultané de deux marchés liés. Deux biens substituts ont pour demandes et offres :

$$Q_{d1} = 100 - 2P_1 + P_2 \quad Q_{o1} = -20 + 3P_1 \qquad Q_{d2} = 80 + P_1 - 2P_2 \quad Q_{o2} = -10 + 2P_2$$

Les égalités offre = demande donnent le système $5P_1 - P_2 = 120$ et $-P_1 + 4P_2 = 90$. $\det = 20 - 1 = 19$ ; par Cramer : $P_1 = \dfrac{120 \times 4 + 90}{19} = 30$ et $P_2 = \dfrac{5 \times 90 + 120}{19} = 30$. Quantités : $Q_1 = -20 + 90 = 70$ et $Q_2 = -10 + 60 = 50$.

Plan de production. Trouver les quantités de plusieurs produits qui utilisent exactement les capacités disponibles des ateliers (exercice ci-dessous).

Autres usages : répartition de charges indirectes entre centres (comptabilité analytique), calcul de prix d'équilibre, modèle de Leontief.

8.7 Application : prestations réciproques en comptabilité analytique

Deux centres auxiliaires se rendent des services mutuels. Le centre Entretien (A) a des charges propres de 10 000 DH et reçoit 20 % du total du centre Énergie (B) ; le centre Énergie a 8 000 DH de charges propres et reçoit 10 % du total de l'Entretien. Les totaux après prestations réciproques vérifient :

$\begin{cases} A = 10\,000 + 0{,}2B \ B = 8\,000 + 0{,}1A \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} A - 0{,}2B = 10\,000 \ -0{,}1A + B = 8\,000 \end{cases}$

$\det = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$. Par Cramer : $A = \dfrac{10\,000 + 0{,}2 \times 8\,000}{0{,}98} \approx 11\,836{,}73$ DH et $B = \dfrac{8\,000 + 0{,}1 \times 10\,000}{0{,}98} \approx 9\,183{,}67$ DH. Ces totaux sont ensuite répartis entre les centres principaux (vu en comptabilité analytique au S3).

8.8 Méthode : résoudre un système

1. Écrire le système sous forme matricielle et calculer $\det A$.
2. Si $\det A \neq 0$ : Cramer (2 ou 3 inconnues) ou Gauss.
3. Si $\det A = 0$ : pivot de Gauss pour conclure (infinité de solutions ou aucune).
4. Vérifier la solution dans toutes les équations.
5. Interpréter (prix positifs, quantités entières si nécessaire).

Les pièges à éviter

• Remplacer la mauvaise colonne dans la méthode de Cramer.
• Appliquer Cramer quand $\det A = 0$.
• Faire une opération sur une ligne sans l'appliquer au second membre.
• Oublier de vérifier la solution dans toutes les équations.
• Conclure « pas de solution » dès que $\det A = 0$ : il peut y en avoir une infinité.