Les systèmes d'équations linéaires
8.1 Écriture matricielle
Un système de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit :
$$A \cdot X = B \qquad \text{avec } A \text{ la matrice des coefficients, } X \text{ le vecteur des inconnues, } B \text{ le second membre}$$
Si $A$ est inversible, la solution est unique :
$$\boxed{X = A^{-1} B}$$
8.2 La méthode de Cramer
Si $\det(A) \neq 0$, le système admet une solution unique donnée par :
$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$
où $A_i$ est la matrice $A$ dans laquelle la colonne $i$ a été remplacée par $B$.
8.3 La méthode du pivot de Gauss
On transforme le système en un système triangulaire équivalent par des opérations élémentaires sur les lignes :
| Opération autorisée | Notation |
|---|---|
| Échanger deux lignes | $L_i \leftrightarrow L_j$ |
| Multiplier une ligne par $\lambda \neq 0$ | $L_i \leftarrow \lambda L_i$ |
| Ajouter à une ligne un multiple d'une autre | $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ |
Puis on résout par remontée (de la dernière équation vers la première).
8.4 Discussion : nombre de solutions
| Cas | Nombre de solutions |
|---|---|
| $\det(A) \neq 0$ (système de Cramer) | Une solution unique |
| $\det(A) = 0$ et système compatible | Une infinité de solutions |
| $\det(A) = 0$ et système incompatible | Aucune solution |
Exercice 1
Une entreprise agroalimentaire de Meknès fabrique trois types de jus : A, B et C. Chaque lot consomme des quantités connues de trois ressources, et l'entreprise dispose de stocks à écouler intégralement :
| Ressource | Lot A | Lot B | Lot C | Stock disponible |
|---|---|---|---|---|
| Fruits (kg) | 2 | 1 | 3 | 1 900 |
| Sucre (kg) | 1 | 2 | 1 | 1 300 |
| Emballages (u) | 1 | 1 | 1 | 900 |
On note $x$, $y$, $z$ les nombres de lots de A, B et C à produire.
- Écrivez le système d'équations correspondant, puis sa forme matricielle $AX = B$.
- Calculez $\det(A)$. Que pouvez-vous en conclure ?
- Résolvez le système par la méthode de Gauss.
- Vérifiez votre solution, puis interprétez le résultat.
Voir le corrigé
1) Mise en équation : $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 1900 \\ x + 2y + z = 1300 \\ x + y + z = 900 \end{cases} \qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\; X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\; B = \begin{pmatrix} 1900 \\ 1300 \\ 900 \end{pmatrix}$$
2) Déterminant : $$\det(A) = 2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= 2(2-1) - 1(1-1) + 3(1-2) = 2 - 0 - 3 = \mathbf{-1}$$ $\det(A) = -1 \neq 0$ : le système est un système de Cramer, il admet une solution unique.
3) Résolution par Gauss. On prend $L_3$ comme ligne pivot (coefficients tous égaux à 1, plus simple) :
$$L_1 \leftarrow L_1 - 2L_3 : \quad (2-2)x + (1-2)y + (3-2)z = 1900 - 1800 \;\Rightarrow\; -y + z = 100$$ $$L_2 \leftarrow L_2 - L_3 : \quad (1-1)x + (2-1)y + (1-1)z = 1300 - 900 \;\Rightarrow\; y = 400$$
De $L_2$ : $\;\mathbf{y = 400}$. En reportant dans $-y + z = 100$ : $\; z = 100 + 400 = \mathbf{500}$. En reportant dans $L_3$ : $\; x + 400 + 500 = 900 \Rightarrow \mathbf{x = 0}$.
$$\boxed{x = 0 \quad ; \quad y = 400 \quad ; \quad z = 500}$$
4) Vérification :
| Équation | Calcul | Résultat | Stock |
|---|---|---|---|
| Fruits | $2(0) + 400 + 3(500)$ | 1 900 | 1 900 ✓ |
| Sucre | $0 + 2(400) + 500$ | 1 300 | 1 300 ✓ |
| Emballages | $0 + 400 + 500$ | 900 | 900 ✓ |
Interprétation : pour écouler exactement ses trois stocks, l'entreprise doit produire 400 lots de B et 500 lots de C, et aucun lot de A. Le résultat $x = 0$ n'est pas une erreur : il signifie que, compte tenu des proportions de ressources disponibles, le produit A ne peut pas entrer dans la combinaison qui épuise simultanément les trois stocks. ⚠️ En examen, toujours vérifier la solution en la réinjectant dans le système : c'est rapide et cela sécurise plusieurs points.
Exercice 2 — Cramer et Gauss
- Résolvez par la méthode de Cramer : $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases}$.
- Résolvez par le pivot de Gauss : $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$.
- Le système $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 5 \end{cases}$ a-t-il des solutions ?
Voir le corrigé
1) $\det A = 2 \times (-1) - 1 \times 1 = -3$ ; $\det A_x = 7 \times (-1) - 1 \times (-1) = -6$ ; $\det A_y = 2 \times (-1) - 7 \times 1 = -9$. Donc $x = 2$, $y = 3$.
2) $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $-3y - z = -9$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $y - 2z = -4$. De la 3ᵉ : $y = 2z - 4$ ; dans la 2ᵉ : $-3(2z - 4) - z = -9$, soit $-7z = -21$ et $z = 3$ ; puis $y = 2$ et $x = 6 - 2 - 3 = 1$. Solution $(1 ; 2 ; 3)$.
3) $\det = 4 - 4 = 0$ ; la 2ᵉ équation donne $x + 2y = 2{,}5$, incompatible avec $x + 2y = 3$ : aucune solution.
L'essentiel — Systèmes linéaires
- Écriture matricielle : $AX = B$ ; si $\det A \neq 0$, solution unique $X = A^{-1}B$.
- Cramer : $x_i = \dfrac{\det A_i}{\det A}$, où $A_i$ remplace la $i$-ème colonne par $B$.
- Pivot de Gauss : combinaisons de lignes pour obtenir un système triangulaire, puis remontée.
- Discussion : $\det A \neq 0$ → solution unique ; $\det A = 0$ → aucune ou une infinité de solutions.
- Applications : équilibre de plusieurs marchés, programmes de production, répartitions.