La dérivation et ses applications économiques
5.1 Définition et interprétation
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
| Lecture | Sens |
|---|---|
| Géométrique | $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ |
| Économique | $f'(q)$ mesure la variation marginale : l'effet d'une unité supplémentaire |
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
5.2 Les règles de dérivation
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $u + v$ | $u' + v'$ |
| $k \cdot u$ | $k \cdot u'$ |
| $u \cdot v$ | $u'v + uv'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| $u^n$ | $n\,u'\,u^{n-1}$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
| $e^u$ | $u'\,e^u$ |
5.3 Les grandeurs marginales en économie
| Grandeur | Formule | Signification |
|---|---|---|
| Coût marginal | $Cm(q) = C'(q)$ | Coût de la dernière unité produite |
| Recette marginale | $Rm(q) = R'(q)$ | Recette de la dernière unité vendue |
| Profit | $\pi(q) = R(q) - C(q)$ | |
| Condition d'optimum | $\pi'(q) = 0 \Leftrightarrow Rm(q) = Cm(q)$ | Le profit est maximal quand recette marginale = coût marginal |
| Coût moyen | $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ | Coût unitaire |
| Productivité marginale | $Pm_L = \dfrac{\partial Q}{\partial L}$ | Production de la dernière unité de travail |
📌 Propriété clé : le coût marginal coupe le coût moyen en son minimum. Tant que $Cm < CM$, le coût moyen baisse ; dès que $Cm > CM$, il remonte.
5.4 L'élasticité
$$\boxed{e_{y/x} = \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y}}$$
L'élasticité mesure la variation en % de $y$ provoquée par une variation de 1 % de $x$. C'est une grandeur sans unité, donc comparable entre produits.
| Élasticité-prix de la demande | Interprétation |
|---|---|
| $\lvert e \rvert > 1$ | Demande élastique (biens de luxe, produits substituables) |
| $\lvert e \rvert < 1$ | Demande inélastique (produits de première nécessité) |
| $\lvert e \rvert = 1$ | Élasticité unitaire |
Exercice 1
Une entreprise a pour fonction de coût total $C(q) = 2q^3 - 15q^2 + 60q + 500$ et vend chaque unité au prix unitaire $p = 96$ DH.
- Calculez le coût marginal $Cm(q)$ et le coût moyen $CM(q)$.
- Écrivez la recette totale $R(q)$ et la fonction de profit $\pi(q)$.
- Déterminez la quantité qui maximise le profit et vérifiez qu'il s'agit bien d'un maximum.
- Calculez le profit maximal.
- La fonction de demande d'un autre produit est $D(p) = 400 - 5p$. Calculez l'élasticité-prix au prix $p = 40$ et interprétez.
Voir le corrigé
1) Coût marginal et coût moyen : $$Cm(q) = C'(q) = 6q^2 - 30q + 60$$ $$CM(q) = \frac{2q^3 - 15q^2 + 60q + 500}{q} = 2q^2 - 15q + 60 + \frac{500}{q}$$
2) Recette et profit : $$R(q) = p \cdot q = 96q$$ $$\pi(q) = R(q) - C(q) = 96q - (2q^3 - 15q^2 + 60q + 500) = -2q^3 + 15q^2 + 36q - 500$$
3) Maximisation. Condition du premier ordre : $\pi'(q) = 0$. $$\pi'(q) = -6q^2 + 30q + 36 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad q^2 - 5q - 6 = 0 \quad (\text{division par } -6)$$ $$\Delta = 25 + 24 = 49 \quad ; \quad \sqrt{\Delta} = 7$$ $$q_1 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \quad (\text{rejeté : } q \geq 0) \qquad q_2 = \frac{5 + 7}{2} = \mathbf{6}$$
Condition du second ordre : $$\pi''(q) = -12q + 30 \quad \Rightarrow \quad \pi''(6) = -72 + 30 = -42 < 0$$ $\pi''(6) < 0$ : il s'agit bien d'un maximum. La quantité optimale est $q^* = 6$ unités.
Vérification par la règle économique $Rm = Cm$ : $$Rm(q) = R'(q) = 96 \qquad Cm(6) = 6(36) - 30(6) + 60 = 216 - 180 + 60 = 96 \quad \checkmark$$
4) Profit maximal : $$\pi(6) = -2(216) + 15(36) + 36(6) - 500 = -432 + 540 + 216 - 500 = \mathbf{-176\ DH}$$ ⚠️ Le profit maximal est négatif : l'entreprise minimise en réalité sa perte. C'est un résultat économiquement parfaitement cohérent — les coûts fixes de 500 DH ne sont pas couverts au prix de 96 DH. À court terme, elle peut continuer à produire tant que le prix couvre le coût variable moyen ; à long terme, elle doit fermer ou augmenter son prix. Ne « corrige » jamais un résultat négatif : interprète-le.
5) Élasticité-prix : $$D(p) = 400 - 5p \quad \Rightarrow \quad D'(p) = -5$$ $$D(40) = 400 - 200 = 200$$ $$e = D'(p) \cdot \frac{p}{D(p)} = -5 \times \frac{40}{200} = \mathbf{-1}$$ Interprétation : $\lvert e \rvert = 1$, l'élasticité est unitaire. Une hausse de 1 % du prix entraîne une baisse de 1 % des quantités demandées : la recette totale est à son maximum en ce point (une variation de prix, dans un sens ou dans l'autre, la fera baisser).
Exercice 2 — Dérivées, coût marginal et élasticité
- Dérivez : a) $f(x) = (2x + 1)e^x$ ; b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ ; c) $h(x) = \dfrac{x}{x + 1}$.
- $CT(q) = q^3 - 3q^2 + 5q + 20$. Calculez le coût marginal et sa valeur pour $q = 10$.
- La demande est $D(p) = 200 - 4p$. Calculez l'élasticité-prix pour $p = 30$ et interprétez.
Voir le corrigé
1) a) $f'(x) = 2e^x + (2x + 1)e^x = (2x + 3)e^x$ ; b) $g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; c) $h'(x) = \dfrac{(x + 1) - x}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.
2) $Cm(q) = 3q^2 - 6q + 5$ ; $Cm(10) = 300 - 60 + 5 = 245$ : la 11ᵉ unité coûte environ 245 DH.
3) $D(30) = 80$ ; $e = -4 \times \dfrac{30}{80} = -1{,}5$ : une hausse de 1 % du prix fait baisser la demande de 1,5 % (demande élastique).
L'essentiel — Dérivation
- $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ : pente de la tangente, taux de variation instantané.
- Règles : $(u + v)' = u' + v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ; $(e^u)' = u'e^u$ ; $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ; $(x^n)' = nx^{n-1}$.
- Grandeurs marginales : coût marginal $Cm = CT'(q)$, recette marginale $Rm = RT'(q)$, profit marginal.
- Élasticité : $e = f'(x) \times \dfrac{x}{f(x)}$ ; variation en % de $f$ pour 1 % de variation de $x$.