La dérivation et ses applications économiques

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• définir le nombre dérivé et l'interpréter comme une pente ;
• dériver les fonctions usuelles et appliquer les règles (produit, quotient, composée) ;
• écrire l'équation d'une tangente et faire une approximation affine ;
• calculer et interpréter une grandeur marginale ;
• calculer une élasticité et un taux de croissance.

5.1 Le nombre dérivé

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement admet une limite finie :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Interprétation graphique : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Interprétation économique : c'est la variation de $f$ provoquée par une petite variation de $x$ autour de $a$.

Une fonction dérivable est continue ; la réciproque est fausse ($|x|$ est continue en 0 mais pas dérivable).

5.2 Les dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$k$ (constante)	$0$	$e^x$	$e^x$
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

5.3 Les règles de dérivation

$$(u + v)' = u' + v' \qquad (k\,u)' = k\,u' \qquad (u\,v)' = u'v + u v' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}$$

Fonctions composées :

$$(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \qquad (e^u)' = u'\,e^u \qquad (\ln u)' = \frac{u'}{u} \qquad (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

Exemples : $(x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x)e^x$ ; $\left(\ln(x^2 + 1)\right)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; $\left((2x + 1)^5\right)' = 10(2x + 1)^4$.

5.4 Tangente et approximation affine

Équation de la tangente en $a$ :

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Au voisinage de $a$, la courbe est proche de sa tangente : $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$. En économie : $\Delta f \approx f'(x) \times \Delta x$.

Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 100$ : $f(100) = 10$, $f'(100) = 1/20$. Donc $\sqrt{102} \approx 10 + 2/20 = 10{,}1$ (valeur exacte : 10,0995).

Dérivées successives : $f''$ est la dérivée de $f'$ ; elle mesure la variation de la pente (chapitre 6, convexité).

5.5 Les grandeurs marginales

En économie, la dérivée d'une grandeur totale est la grandeur marginale : l'effet d'une unité supplémentaire.

Grandeur totale	Grandeur marginale
Coût total $CT(Q)$	Coût marginal $Cm = CT'(Q)$
Recette totale $RT(Q)$	Recette marginale $Rm = RT'(Q)$
Production $Q(L)$	Productivité marginale $Pm = Q'(L)$
Utilité $U(x)$	Utilité marginale $Um = U'(x)$

Exemple : $CT(Q) = 0{,}5Q^2 + 10Q + 200$ ; $Cm(Q) = Q + 10$. Pour $Q = 20$ : $Cm = 30$. Le coût réel de la 21e unité est $CT(21) - CT(20) = 630{,}5 - 600 = 30{,}5$ : le coût marginal en donne une bonne approximation.

5.6 L'élasticité et le taux de croissance

L'élasticité de $f$ par rapport à $x$ mesure la variation en pourcentage de $f$ quand $x$ augmente de 1 % :

$$e_{f/x} = \frac{f'(x)}{f(x)} \times x = \frac{\text{variation relative de } f}{\text{variation relative de } x}$$

Exemple : demande $Q = 120 - 3P$ : $e = \dfrac{-3P}{120 - 3P}$. À $P = 10$ : $e = -30/90 \approx -0{,}33$ (demande inélastique) ; à $P = 20$ : $e = -60/60 = -1$ (élasticité unitaire) ; à $P = 30$ : $e = -90/30 = -3$ (élastique). Une élasticité constante caractérise les fonctions puissances : pour $Q = k P^{\alpha}$, $e = \alpha$.

Le taux de croissance instantané d'une grandeur $y(t)$ est $\dfrac{y'(t)}{y(t)} = (\ln y)'(t)$. Si $y(t) = y_0 e^{gt}$, il est constant et égal à $g$.

5.7 Recette marginale et élasticité

Pour une entreprise qui fait face à une demande décroissante $P(Q)$, la recette totale est $RT(Q) = P(Q) \times Q$. Par la règle du produit :

$Rm = RT'(Q) = P(Q) + Q\,P'(Q) = P\left(1 + \frac{Q}{P}\,P'(Q)\right) = P\left(1 + \frac{1}{e}\right)$

où $e$ est l'élasticité-prix de la demande (négative). Conséquences :

• si $|e| > 1$ (demande élastique), $Rm > 0$ : vendre une unité de plus augmente la recette ;
• si $|e| = 1$, $Rm = 0$ : la recette est maximale ;
• si $|e| < 1$, $Rm < 0$ : augmenter les quantités (donc baisser le prix) fait baisser la recette.

Exemple : $P = 100 - 2Q$. $RT = 100Q - 2Q^2$, $Rm = 100 - 4Q$. En $Q = 10$ : $P = 80$, $Rm = 60$. Élasticité : $e = \dfrac{1}{P'(Q)} \times \dfrac{P}{Q} = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{80}{10} = -4$ ; et $80 \times (1 - \tfrac{1}{4}) = 60$ ✓. Cette relation, obtenue par une simple dérivée de produit, est au cœur de la théorie du monopole en microéconomie.

5.8 Méthode : dériver et interpréter

1. Identifier la structure de la fonction : somme, produit, quotient, composée.
2. Appliquer la règle correspondante, en dérivant les fonctions intérieures.
3. Simplifier et factoriser le résultat (utile pour étudier son signe au chapitre 6).
4. Pour une question économique : donner l'unité et le sens (« une unité de plus coûte environ 30 DH »).
5. Pour une élasticité : calculer $f'(x)\,x / f(x)$ et comparer sa valeur absolue à 1.

Les pièges à éviter

• Dériver un produit en multipliant les dérivées : $(uv)' \neq u'v'$.
• Oublier la dérivée de la fonction intérieure : $(e^{3x})' = 3e^{3x}$, pas $e^{3x}$.
• Oublier le signe moins dans la dérivée d'un quotient.
• Confondre coût marginal (dérivée) et coût moyen (quotient).
• Interpréter une élasticité comme une variation en unités : c'est une variation en pourcentage.