Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ;
• calculer des limites et lever les formes indéterminées ;
• identifier les asymptotes verticales, horizontales et obliques ;
• étudier la continuité et prolonger une fonction par continuité ;
• appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

4.1 Fonctions et ensemble de définition

Une fonction $f$ associe à un réel $x$ au plus un réel $f(x)$. Son ensemble de définition $D_f$ regroupe les $x$ pour lesquels $f(x)$ existe :

• un dénominateur ne doit pas s'annuler ;
• une racine carrée exige un argument positif ou nul ;
• un logarithme exige un argument strictement positif.

Exemple : $f(x) = \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 3}$ : $D_f = \,]1, 3[\, \cup \,]3, +\infty[$.

Fonctions de référence : puissances $x^n$, inverse $1/x$, racine $\sqrt{x}$, exponentielle $e^x$, logarithme népérien $\ln x$.

4.2 Limites usuelles et opérations

Limite	Valeur
$x^n$ en $+\infty$ ($n \ge 1$)	$+\infty$
$1/x$ en $\pm\infty$	$0$
$1/x$ en $0^+$ ; en $0^-$	$+\infty$ ; $-\infty$
$e^x$ en $+\infty$ ; en $-\infty$	$+\infty$ ; $0$
$\ln x$ en $+\infty$ ; en $0^+$	$+\infty$ ; $-\infty$

Les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se déduisent de celles des termes, sauf dans quatre formes indéterminées :

$$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$$

Croissances comparées : en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme : $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$ et $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$.

4.3 Lever une forme indéterminée

Technique	Exemple
Terme de plus haut degré (polynômes et fractions rationnelles en $\pm\infty$)	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 5} = \lim \frac{3x^2}{x^2} = 3$
Factorisation (forme $0/0$)	$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$
Quantité conjuguée (racines)	$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \to 0$ en $+\infty$
Croissances comparées	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = 0$

4.4 Les asymptotes

Asymptote	Condition	Exemple
Verticale $x = a$	$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$	$f(x) = 1/(x - 3)$ : $x = 3$
Horizontale $y = b$	$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$	$f(x) = (2x + 1)/(x - 1)$ : $y = 2$
Oblique $y = ax + b$	$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$	$f(x) = (x^2 + 1)/x = x + 1/x$ : $y = x$

Application économique : le coût moyen $CM(Q) = 5 + \dfrac{100}{Q}$ tend vers $+\infty$ quand $Q \to 0^+$ (asymptote verticale : le coût fixe réparti sur très peu d'unités) et vers 5 quand $Q \to +\infty$ (asymptote horizontale : le coût fixe par unité devient négligeable).

4.5 La continuité

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : on trace sa courbe « sans lever le crayon ». Les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, racine, exponentielle, logarithme) sont continues sur leur ensemble de définition, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées.

Prolongement par continuité : si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$, on peut la prolonger en posant $f(a) = \ell$. Exemple : $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ se prolonge en $x = 2$ par la valeur 4.

Une fonction définie par morceaux peut présenter une discontinuité : un tarif qui passe brutalement d'un prix à un autre à partir d'une certaine quantité (tarif par tranches) crée un « saut ».

4.6 Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (TVI) : si $f$ est continue sur $[a, b]$, elle prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$. En particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $]a, b[$.

Corollaire : si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, cette solution est unique.

Exemple : $f(x) = x^3 + x - 1$ est continue et strictement croissante ; $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha \in\, ]0, 1[$. Par dichotomie, $\alpha \approx 0{,}682$.

En économie, le TVI garantit par exemple l'existence d'un prix d'équilibre : si l'excès de demande $Q_d(P) - Q_o(P)$ est continu, positif pour un prix bas et négatif pour un prix élevé, il s'annule pour un prix intermédiaire.

4.7 La dichotomie pas à pas

Le TVI donne une méthode d'approximation : couper l'intervalle en deux et garder la moitié où la fonction change de signe. Pour $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ :

Intervalle	Milieu $m$	$f(m)$	Nouvel intervalle
$[0 ; 1]$	0,5	−0,375	$[0{,}5 ; 1]$
$[0{,}5 ; 1]$	0,75	0,172	$[0{,}5 ; 0{,}75]$
$[0{,}5 ; 0{,}75]$	0,625	−0,131	$[0{,}625 ; 0{,}75]$
$[0{,}625 ; 0{,}75]$	0,6875	0,012	$[0{,}625 ; 0{,}6875]$

Après quatre étapes, $\alpha \in [0{,}625 ; 0{,}6875]$ ; chaque étape divise l'amplitude par deux.

4.8 Méthode : étudier les limites d'une fonction

1. Déterminer $D_f$ et les bornes où calculer les limites.
2. Tenter le calcul direct ; repérer une éventuelle forme indéterminée.
3. Choisir la technique : plus haut degré, factorisation, conjuguée, croissances comparées.
4. En déduire les asymptotes et leur interprétation.
5. Étudier la continuité aux points particuliers et appliquer le TVI si une équation doit être résolue.

Les pièges à éviter

• Conclure « $\infty - \infty = 0$ » ou « $0/0 = 1$ » : ce sont des formes indéterminées.
• Garder tous les termes d'un polynôme en $\pm\infty$ : seul le terme de plus haut degré compte.
• Oublier les limites à gauche et à droite d'une valeur interdite.
• Appliquer le TVI à une fonction non continue.
• Conclure à l'unicité de la solution sans stricte monotonie.