Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité
4.1 Domaine de définition
$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe}\}$$
| Forme de $f$ | Condition |
|---|---|
| $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ | $v(x) \neq 0$ |
| $\sqrt{u(x)}$ | $u(x) \geq 0$ |
| $\ln\big(u(x)\big)$ | $u(x) > 0$ |
4.2 Limites usuelles
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
Croissances comparées (à connaître par cœur) :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$
📌 En clair : l'exponentielle écrase la puissance, qui écrase le logarithme.
4.3 Les formes indéterminées
$$\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad 1^{\infty}$$
| Technique de levée | Quand l'utiliser |
|---|---|
| Factoriser par le terme dominant | Quotients de polynômes en $\pm\infty$ |
| Factoriser / simplifier | $\frac{0}{0}$ avec une racine évidente |
| Multiplier par l'expression conjuguée | Présence de racines carrées |
| Croissances comparées | Mélange $\ln$, puissance, $e^x$ |
Résultat pratique : pour un quotient de polynômes en $\pm\infty$, la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.
4.4 Continuité
$f$ est continue en $a$ si :
$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$
| Théorème | Énoncé |
|---|---|
| Opérations | Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues |
| Valeurs intermédiaires (TVI) | Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$ |
| Corollaire (bijection) | Si en plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique |
Exercice 1
- Déterminez le domaine de définition de $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x^2 - 9}$ et de $g(x) = \ln(x - 2)$.
- Calculez : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7} \qquad \lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{x^2 - 9} \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3}$$
- Le coût total de production d'une entreprise est $C(q) = 0{,}5q^2 + 20q + 800$ (en DH, $q$ en unités). Déterminez la limite du coût moyen $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ quand $q \to +\infty$, puis quand $q \to 0^+$. Interprétez économiquement.
Voir le corrigé
1) Domaines :
- $f$ : il faut $x^2 - 9 \neq 0$, soit $x \neq 3$ et $x \neq -3$. Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\,;\,3\}$.
- $g$ : il faut $x - 2 > 0$, soit $x > 2$. Donc $D_g = \;]2\,;\,+\infty[$.
2) Limites :
(a) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme de plus haut degré : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2} = \mathbf{1{,}5}$$
(b) Forme $\frac{0}{0}$ en $x=3$. On factorise : $$\frac{2x-6}{x^2-9} = \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x+3} \quad (x \neq 3)$$ $$\lim_{x \to 3} \frac{2x-6}{x^2-9} = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$
(c) Croissances comparées : $\ln x$ est négligeable devant toute puissance de $x$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = \mathbf{0}$$
3) Coût moyen : $$CM(q) = \frac{0{,}5q^2 + 20q + 800}{q} = 0{,}5q + 20 + \frac{800}{q}$$
Quand $q \to +\infty$ : $$\lim_{q \to +\infty} CM(q) = +\infty$$ Quand $q \to 0^+$ : $$\lim_{q \to 0^+} CM(q) = +\infty \quad (\text{car } \tfrac{800}{q} \to +\infty)$$
Interprétation économique — c'est ce qui est réellement attendu dans la copie :
- Quand $q \to 0^+$, le coût fixe de 800 DH est réparti sur très peu d'unités : le coût unitaire explose. Produire une seule unité coûte 820,5 DH.
- Quand $q \to +\infty$, le terme $0{,}5q$ (coût variable croissant) l'emporte : les rendements décroissants font remonter le coût unitaire.
- Le coût moyen atteint donc un minimum pour une valeur intermédiaire de $q$ : c'est la taille optimale de production, que nous calculerons au chapitre 6.
Exercice 2 — Lever les indéterminations
- Calculez : a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$ ; b) $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ; c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3}$.
- Donnez le domaine de définition de $f(x) = \ln(x - 1)$ et de $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 9}$.
- Soit $h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$ et $h(1) = a$. Quelle valeur donner à $a$ pour que $h$ soit continue en 1 ?
Voir le corrigé
1) a) Termes dominants : $\dfrac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; b) $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \to 4$ ; c) croissances comparées : $+\infty$.
2) $D_f = \,]1 \;;\; +\infty[$ ; $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3 \;;\; 3\}$.
3) Pour $x \neq 1$, $h(x) = x + 1 \to 2$ : il faut $a = 2$.
L'essentiel — Limites et continuité
- Domaine de définition : attention aux dénominateurs nuls, racines de nombres négatifs, logarithmes de nombres négatifs ou nuls.
- Limites usuelles : $\dfrac{1}{x} \to 0$ en $\pm\infty$ ; $e^x \to +\infty$ en $+\infty$ ; $\ln x \to -\infty$ en $0^+$.
- Formes indéterminées : $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ ; on factorise ou on simplifie.
- Polynôme ou fraction rationnelle en $\pm\infty$ : on garde les termes de plus haut degré.
- Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.
- Continuité en $a$ : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.