Ensembles, relations et applications
2.1 Vocabulaire des ensembles
| Notation | Lecture |
|---|---|
| $x \in E$ | $x$ appartient à $E$ |
| $A \subset E$ | $A$ est inclus dans $E$ (tout élément de $A$ est dans $E$) |
| $\varnothing$ | Ensemble vide |
| $\mathcal{P}(E)$ | Ensemble des parties de $E$ ; si $\text{card}(E) = n$, alors $\text{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$ |
Les ensembles de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
2.2 Opérations sur les ensembles
| Opération | Définition |
|---|---|
| Réunion $A \cup B$ | $\{x \mid x \in A \textbf{ ou } x \in B\}$ |
| Intersection $A \cap B$ | $\{x \mid x \in A \textbf{ et } x \in B\}$ |
| Différence $A \setminus B$ | $\{x \mid x \in A \textbf{ et } x \notin B\}$ |
| Complémentaire $\bar{A}$ ou $C_E A$ | $\{x \in E \mid x \notin A\}$ |
| Produit cartésien $A \times B$ | $\{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$ |
$$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \quad \text{(lois de De Morgan)}$$
$$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$$
2.3 Applications
Une application $f : E \to F$ associe à tout élément de $E$ un seul élément de $F$.
| Notion | Définition | Traduction pratique |
|---|---|---|
| Injective | $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$ | Deux éléments distincts ont des images distinctes |
| Surjective | $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x)=y$ | Tout élément de $F$ est atteint |
| Bijective | Injective et surjective | Chaque $y$ a exactement un antécédent |
📌 Si $f$ est bijective, elle admet une réciproque $f^{-1}$ telle que $f^{-1}(f(x)) = x$.
2.4 Relations binaires
| Propriété | Définition |
|---|---|
| Réflexive | $\forall x,\; x \mathcal{R} x$ |
| Symétrique | $x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$ |
| Antisymétrique | $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x \Rightarrow x = y$ |
| Transitive | $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z \Rightarrow x \mathcal{R} z$ |
| Type de relation | Conditions |
|---|---|
| Relation d'équivalence | Réflexive + symétrique + transitive |
| Relation d'ordre | Réflexive + antisymétrique + transitive |
📌 En microéconomie, la relation de préférence du consommateur est supposée réflexive, transitive et complète : c'est une relation d'ordre (au sens large), ce qui permet de classer les paniers de biens.
Exercice 1
Soit $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $A = \{1,2,3,4\}$ et $B = \{3,4,5,6\}$.
- Déterminez $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ et $\bar{A}$ (complémentaire dans $E$).
- Vérifiez la formule $\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$.
- Combien $A$ a-t-il de parties ?
- Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 5$. Montrez que $f$ est bijective et déterminez $f^{-1}$.
- Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$. $g$ est-elle injective ? surjective ? Justifiez.
Voir le corrigé
1) $$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\} \qquad A \cap B = \{3,4\}$$ $$A \setminus B = \{1,2\} \qquad \bar{A} = \{5,6,7,8\}$$
2) $\text{card}(A)=4$, $\text{card}(B)=4$, $\text{card}(A \cap B)=2$ : $$4 + 4 - 2 = 6 = \text{card}(A \cup B) \quad \checkmark$$
3) $\text{card}(A) = 4$ donc $\text{card}(\mathcal{P}(A)) = 2^4 = \mathbf{16}$ parties (y compris $\varnothing$ et $A$ lui-même).
4) Bijectivité de $f(x) = 3x-5$ :
- Injective : $f(x)=f(x') \Rightarrow 3x-5 = 3x'-5 \Rightarrow 3x = 3x' \Rightarrow x = x'$. ✓
- Surjective : soit $y \in \mathbb{R}$ ; on cherche $x$ tel que $3x - 5 = y$, soit $x = \dfrac{y+5}{3}$, qui existe toujours dans $\mathbb{R}$. ✓ Donc $f$ est bijective et : $$f^{-1}(y) = \frac{y+5}{3}$$
5) $g(x) = x^2$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ :
- Non injective : $g(2) = g(-2) = 4$ alors que $2 \neq -2$ (contre-exemple suffisant).
- Non surjective : $-1$ n'a aucun antécédent, car $x^2 \geq 0$ pour tout réel. ⚠️ Attention : $g$ deviendrait bijective si on la restreignait de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$. L'injectivité et la surjectivité dépendent toujours des ensembles de départ et d'arrivée.
Exercice 2 — Opérations et bijection
- $A = \{1, 2, 3, 4\}$ et $B = \{3, 4, 5\}$. Déterminez $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ et vérifiez la formule du cardinal de la réunion. Combien $A$ a-t-il de parties ?
- Dans une promotion de 120 étudiants, 70 suivent l'option finance, 50 l'option marketing et 20 les deux. Combien ne suivent aucune de ces options ?
- Montrez que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$ est bijective et donnez sa réciproque. $g(x) = x^2$ est-elle injective sur $\mathbb{R}$ ?
Voir le corrigé
1) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ; $A \cap B = \{3, 4\}$ ; $A \setminus B = \{1, 2\}$. $4 + 3 - 2 = 5$ ✓. $\text{card}(\mathcal{P}(A)) = 2^4 = 16$.
2) $70 + 50 - 20 = 100$ suivent au moins une option ; $120 - 100 = 20$ n'en suivent aucune.
3) Pour tout $y$, $2x + 3 = y$ a une unique solution $x = \dfrac{y - 3}{2}$ : $f$ est bijective et $f^{-1}(y) = \dfrac{y - 3}{2}$. $g$ n'est pas injective : $g(-2) = g(2) = 4$.
L'essentiel — Ensembles et applications
- Appartenance $\in$, inclusion $\subset$, ensemble vide ; si $\text{card}(E) = n$, $\text{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$.
- Opérations : réunion, intersection, différence, complémentaire, produit cartésien ; De Morgan : $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.
- $\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$.
- Application injective (images distinctes), surjective (tout élément atteint), bijective (les deux : réciproque $f^{-1}$).
- Relation d'équivalence : réflexive, symétrique, transitive ; relation d'ordre : réflexive, antisymétrique, transitive.