Ensembles, relations et applications

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• utiliser les notations ensemblistes et effectuer les opérations sur les ensembles ;
• calculer le cardinal d'une réunion et exploiter un diagramme de Venn ;
• reconnaître une relation d'équivalence et une relation d'ordre ;
• déterminer si une application est injective, surjective ou bijective ;
• calculer une application composée et une application réciproque.

2.1 Ensembles et notations

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On note $x \in E$ (« $x$ appartient à $E$ ») et $x \notin E$.

• Définition en extension : $A = \{1, 2, 3\}$ ; en compréhension : $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4\} = \,]-2, 2[$.
• Ensembles de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• $\emptyset$ est l'ensemble vide. $A \subset B$ (inclusion) si tout élément de $A$ est dans $B$ ; $A = B$ si $A \subset B$ et $B \subset A$.
• L'ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ regroupe tous les sous-ensembles de $E$ ; si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ en a $2^n$.

2.2 Opérations sur les ensembles

Opération	Notation	Définition
Réunion	$A \cup B$	Éléments de $A$ ou de $B$
Intersection	$A \cap B$	Éléments de $A$ et de $B$
Complémentaire dans $E$	$\bar A$	Éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$
Différence	$A \setminus B$	Éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$
Produit cartésien	$A \times B$	Couples $(a, b)$ avec $a \in A$, $b \in B$

Propriétés utiles :

$$\overline{A \cup B} = \bar A \cap \bar B \qquad \overline{A \cap B} = \bar A \cup \bar B \qquad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

Deux ensembles sont disjoints si $A \cap B = \emptyset$.

2.3 Le cardinal

Le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments, noté $\text{card}(A)$ ou $|A|$.

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \qquad |A \times B| = |A| \times |B| \qquad |\bar A| = |E| - |A|$$

Exemple : parmi 200 clients d'une banque, 120 ont une carte bancaire, 90 un crédit, et 50 les deux. Nombre de clients ayant au moins l'un des deux produits : $120 + 90 - 50 = 160$ ; aucun des deux : $200 - 160 = 40$.

2.4 Les relations binaires

Une relation $\mathcal{R}$ sur un ensemble $E$ associe certains couples d'éléments ($x \mathcal{R} y$). Propriétés possibles :

Propriété	Définition
Réflexive	$\forall x,\ x \mathcal{R} x$
Symétrique	$x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$
Antisymétrique	$(x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y$
Transitive	$(x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z$

• Relation d'équivalence : réflexive, symétrique, transitive. Exemple : « avoir le même âge » ; elle partage l'ensemble en classes d'équivalence.
• Relation d'ordre : réflexive, antisymétrique, transitive. Exemple : $\le$ sur $\mathbb{R}$ ; l'inclusion sur $\mathcal{P}(E)$. L'ordre est total si deux éléments sont toujours comparables ($\le$), partiel sinon (inclusion).

En économie, la relation de préférence d'un consommateur (« est au moins aussi bien que ») est supposée réflexive, transitive et complète (microéconomie, chapitre 3).

2.5 Les applications

Une application $f : E \to F$ associe à chaque élément $x$ de $E$ un unique élément $f(x)$ de $F$ (son image). Si $y = f(x)$, $x$ est un antécédent de $y$.

Propriété	Définition	Test pratique
Injective	Deux éléments distincts ont des images distinctes : $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$	Tout $y$ a au plus un antécédent
Surjective	Tout élément de $F$ a au moins un antécédent	L'équation $f(x) = y$ a une solution pour tout $y \in F$
Bijective	Injective et surjective	L'équation $f(x) = y$ a une unique solution pour tout $y \in F$

Exemples :

• $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$ est bijective : $y = 2x + 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{y - 3}{2}$ ; sa réciproque est $f^{-1}(y) = \dfrac{y - 3}{2}$.
• $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$ n'est ni injective ($g(-2) = g(2)$) ni surjective ($-1$ n'a pas d'antécédent). Restreinte à $g : [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$, elle devient bijective, de réciproque $\sqrt{y}$.

Le caractère injectif ou surjectif dépend donc des ensembles de départ et d'arrivée.

2.6 Composition et réciproque

La composée de $f : E \to F$ et $g : F \to G$ est $g \circ f : E \to G$, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. En général $g \circ f \neq f \circ g$.

Exemple : $f(x) = 2x + 3$ et $g(x) = x^2$ : $(g \circ f)(x) = (2x + 3)^2$ et $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 3$.

Si $f$ est bijective, sa réciproque $f^{-1}$ vérifie $f^{-1} \circ f = \text{Id}_E$ et $f \circ f^{-1} = \text{Id}_F$. En économie, la fonction de demande inverse $P = f^{-1}(Q)$ est la réciproque de la demande $Q = f(P)$ : de $Q = 100 - 2P$ on tire $P = 50 - Q/2$.

2.7 Méthode : étudier une application

1. Préciser les ensembles de départ et d'arrivée.
2. Injectivité : partir de $f(x) = f(x')$ et chercher à montrer $x = x'$, ou trouver un contre-exemple.
3. Surjectivité : résoudre $f(x) = y$ pour $y$ quelconque de l'ensemble d'arrivée et vérifier que la solution appartient à l'ensemble de départ.
4. Si les deux sont vérifiées : bijection ; écrire $f^{-1}$.
5. Vérifier : $f(f^{-1}(y)) = y$.

Les pièges à éviter

• Oublier de soustraire l'intersection dans le cardinal d'une réunion.
• Conclure sur l'injectivité sans préciser l'ensemble de départ.
• Confondre $f^{-1}$ (réciproque) et $1/f$ (inverse).
• Croire que la composition est commutative.
• Confondre relation d'ordre (antisymétrique) et relation d'équivalence (symétrique).