Étude de fonctions et optimisation

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• déduire le sens de variation d'une fonction du signe de sa dérivée ;
• trouver et caractériser les extremums (conditions du premier et du second ordre) ;
• étudier la convexité et les points d'inflexion ;
• conduire une étude complète de fonction ;
• résoudre des problèmes d'optimisation économique à une et à deux variables.

6.1 Dérivée et sens de variation

Sur un intervalle $I$ :

• si $f'(x) > 0$ sur $I$ (sauf en des points isolés), $f$ est strictement croissante ;
• si $f'(x) < 0$, $f$ est strictement décroissante ;
• si $f'(x) = 0$ sur tout $I$, $f$ est constante.

On résume l'étude dans un tableau de variations : valeurs remarquables de $x$, signe de $f'$, flèches de variation, valeurs de $f$ et limites aux bornes.

6.2 Les extremums

Condition nécessaire (premier ordre) : si $f$ est dérivable et admet un extremum local en un point intérieur $a$, alors $f'(a) = 0$ ($a$ est un point critique).

Conditions suffisantes :

• si $f'$ change de signe en $a$ : de $+$ à $-$, maximum local ; de $-$ à $+$, minimum local ;
• second ordre : si $f'(a) = 0$ et $f''(a) < 0$, maximum local ; si $f''(a) > 0$, minimum local.

Attention : $f'(a) = 0$ ne suffit pas ($x^3$ a une dérivée nulle en 0 sans extremum). Sur un intervalle fermé $[a, b]$, il faut aussi comparer les valeurs aux bornes.

6.3 Convexité et points d'inflexion

• $f$ est convexe sur $I$ si $f'' \ge 0$ : la courbe est au-dessus de ses tangentes (forme « en U ») ; la pente augmente.
• $f$ est concave si $f'' \le 0$ : la courbe est sous ses tangentes (forme « en ∩ ») ; la pente diminue.
• Un point d'inflexion est un point où la convexité change : $f''$ s'annule en changeant de signe.

En économie, une fonction de production à rendements décroissants est concave ; une fonction de coût dont le coût marginal est croissant est convexe.

6.4 Plan d'étude d'une fonction

1. Ensemble de définition, parité éventuelle.
2. Limites aux bornes et asymptotes (chapitre 4).
3. Dérivée, signe, tableau de variations.
4. Extremums et, si demandé, dérivée seconde, convexité, points d'inflexion.
5. Tableau de valeurs et tracé de la courbe.

Exemple : $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

• $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ : positive sur $]-\infty, 1[$, négative sur $]1, 3[$, positive sur $]3, +\infty[$.
• Maximum local en $x = 1$ : $f(1) = 5$ ; minimum local en $x = 3$ : $f(3) = 1$.
• $f''(x) = 6x - 12$ : inflexion en $x = 2$, $f(2) = 3$ ; concave avant 2, convexe après.
• Limites : $-\infty$ en $-\infty$, $+\infty$ en $+\infty$.

6.5 L'optimisation économique à une variable

Problème	Fonction	Condition
Maximiser le profit	$\pi(Q) = RT(Q) - CT(Q)$	$\pi'(Q) = 0 \Leftrightarrow Rm = Cm$, et $\pi'' < 0$
Minimiser le coût moyen	$CM(Q) = CT(Q)/Q$	$CM'(Q) = 0 \Leftrightarrow Cm = CM$
Maximiser la recette	$RT(P) = P \times Q(P)$	$RT'(P) = 0 \Leftrightarrow$ élasticité unitaire

Exemple : $\pi(Q) = -Q^3 + 12Q^2 + 60Q - 100$. $\pi'(Q) = -3Q^2 + 24Q + 60 = -3(Q^2 - 8Q - 20) = -3(Q - 10)(Q + 2)$. Seule $Q = 10$ est économiquement admissible ; $\pi''(10) = -60 + 24 = -36 < 0$ : maximum. $\pi(10) = -1\,000 + 1\,200 + 600 - 100 = 700$.

6.6 Initiation aux fonctions de deux variables

Beaucoup de fonctions économiques dépendent de deux variables : $U(x, y)$, $Q(K, L)$, $\pi(x, y)$. On calcule les dérivées partielles en dérivant par rapport à une variable, l'autre étant considérée comme constante :

$$f(x, y) = x^2 y + 3y \qquad f'_x = 2xy \qquad f'_y = x^2 + 3$$

Optimum libre : conditions du premier ordre $f'_x = 0$ et $f'_y = 0$. Condition du second ordre (avec $r = f''_{xx}$, $s = f''_{xy}$, $t = f''_{yy}$) : si $rt - s^2 > 0$ et $r < 0$, maximum ; si $rt - s^2 > 0$ et $r > 0$, minimum ; si $rt - s^2 < 0$, point-selle.

Exemple : une entreprise vend deux produits ; $\pi(x, y) = 80x + 70y - 2x^2 - 2y^2 - 2xy$.

• $\pi'_x = 80 - 4x - 2y = 0$ et $\pi'_y = 70 - 4y - 2x = 0$ : on trouve $x = 15$, $y = 10$.
• $r = -4$, $t = -4$, $s = -2$ : $rt - s^2 = 12 > 0$ et $r < 0$ : maximum, $\pi(15, 10) = 950$.

L'optimisation sous contrainte (lagrangien) est appliquée en microéconomie à l'équilibre du consommateur.

6.7 Optimisation sur un intervalle fermé

Sur un intervalle fermé $[a, b]$, une fonction continue atteint toujours un maximum et un minimum globaux. On les trouve en comparant les valeurs aux points critiques et aux bornes.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2, 3]$. $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ : points critiques $-1$ et $1$. Valeurs : $f(-2) = -2$ ; $f(-1) = 2$ ; $f(1) = -2$ ; $f(3) = 18$. Maximum global : 18 en $x = 3$ (une borne !) ; minimum global : −2, atteint en $x = -2$ et en $x = 1$. Le maximum local en $-1$ n'est pas le maximum global. En économie, les bornes correspondent souvent à des capacités de production ou à des contraintes réglementaires.

6.8 Méthode : problème d'optimisation

1. Écrire la fonction objectif (profit, coût moyen, recette) et son domaine économique ($Q \ge 0$).
2. Calculer la dérivée (ou les dérivées partielles) et chercher les points critiques.
3. Vérifier la nature de l'extremum (signe de $f'$, $f''$, ou $rt - s^2$).
4. Comparer aux bornes si le domaine est borné.
5. Calculer la valeur optimale et interpréter.

Les pièges à éviter

• Conclure à un extremum dès que $f'(a) = 0$ sans vérifier le changement de signe ou $f''$.
• Garder une solution négative pour une quantité produite.
• Confondre maximum local et maximum global sur un intervalle fermé.
• Oublier de factoriser $f'$ avant d'étudier son signe.
• Inverser convexe et concave : convexe si $f'' \ge 0$.