Étude de fonctions et optimisation
6.1 Sens de variation
| Signe de $f'$ sur un intervalle | Variation de $f$ |
|---|---|
| $f'(x) > 0$ | $f$ est strictement croissante |
| $f'(x) < 0$ | $f$ est strictement décroissante |
| $f'(x) = 0$ | Point critique (candidat extremum) |
6.2 Extremums
| Condition | Contenu |
|---|---|
| Premier ordre (nécessaire) | $f'(x_0) = 0$ |
| Second ordre (suffisante) | $f''(x_0) < 0$ → maximum ; $f''(x_0) > 0$ → minimum |
| Cas $f''(x_0) = 0$ | Indéterminé : étudier le changement de signe de $f'$ |
⚠️ $f'(x_0)=0$ ne suffit pas : $f(x)=x^3$ vérifie $f'(0)=0$ sans avoir d'extremum en 0 (point d'inflexion).
6.3 Convexité
| Signe de $f''$ | Forme de la courbe | Signification économique |
|---|---|---|
| $f'' > 0$ | Convexe (tournée vers le haut) | Rendements décroissants / coût marginal croissant |
| $f'' < 0$ | Concave (tournée vers le bas) | Rendements croissants / utilité marginale décroissante |
| $f''$ change de signe | Point d'inflexion | Changement de régime de croissance |
6.4 Asymptotes
| Type | Condition |
|---|---|
| Verticale $x = a$ | $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ |
| Horizontale $y = \ell$ | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ |
| Oblique $y = ax+b$ | $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim_{x \to \infty} \big(f(x) - ax\big)$ |
6.5 Le plan type d'une étude de fonction
- Domaine de définition ;
- Limites aux bornes du domaine et asymptotes ;
- Dérivée et signe de la dérivée ;
- Tableau de variation ;
- Points particuliers (extremums, intersections avec les axes) ;
- Courbe et interprétation économique.
Exercice 1
Reprenons le coût total $C(q) = 0{,}5q^2 + 20q + 800$ du chapitre 4, avec $q > 0$.
- Déterminez le coût moyen $CM(q)$ puis sa dérivée.
- Calculez la quantité $q^*$ qui minimise le coût moyen (= taille optimale de production).
- Vérifiez qu'il s'agit d'un minimum et calculez $CM(q^*)$.
- Vérifiez la propriété $Cm(q^*) = CM(q^*)$.
- Dressez le tableau de variation de $CM$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Voir le corrigé
1) Coût moyen et sa dérivée : $$CM(q) = \frac{0{,}5q^2 + 20q + 800}{q} = 0{,}5q + 20 + \frac{800}{q}$$ $$CM'(q) = 0{,}5 - \frac{800}{q^2}$$
2) Minimisation : $$CM'(q) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}5 = \frac{800}{q^2} \quad \Longleftrightarrow \quad q^2 = \frac{800}{0{,}5} = 1600$$ $$q^* = \sqrt{1600} = \mathbf{40} \text{ unités} \quad (q>0)$$
3) Nature du point critique : $$CM''(q) = \frac{1600}{q^3} \quad \Rightarrow \quad CM''(40) = \frac{1600}{64\,000} = 0{,}025 > 0$$ $CM'' > 0$ : c'est bien un minimum. $$CM(40) = 0{,}5(40) + 20 + \frac{800}{40} = 20 + 20 + 20 = \mathbf{60\ DH/unité}$$
4) Vérification $Cm(q^*) = CM(q^*)$ : $$Cm(q) = C'(q) = q + 20 \quad \Rightarrow \quad Cm(40) = 40 + 20 = \mathbf{60} \quad \checkmark$$ La propriété est vérifiée : le coût marginal coupe le coût moyen exactement en son minimum. C'est un résultat que tu réutiliseras en Microéconomie et en Comptabilité analytique.
5) Tableau de variation de $CM$ :
| $q$ | $0^+$ | $40$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $CM'(q)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $CM(q)$ | $+\infty$ | ↘ | 60 | ↗ | $+\infty$ |
Interprétation : en dessous de 40 unités, l'entreprise subit le poids des charges fixes (économies d'échelle non réalisées) ; au-delà, les rendements décroissants font remonter le coût unitaire. La capacité optimale est donc de 40 unités, pour un coût unitaire de 60 DH.
Exercice 2 — Maximiser un profit, étudier une cubique
- Le profit d'une entreprise est $\pi(q) = -2q^2 + 120q - 1\,000$. Déterminez la quantité qui maximise le profit et le profit maximal ; vérifiez qu'il s'agit bien d'un maximum.
- Étudiez $f(x) = x^3 - 3x$ : dérivée, variations, extremums locaux et point d'inflexion.
Voir le corrigé
1) $\pi'(q) = -4q + 120 = 0$, donc $q = 30$ ; $\pi''(q) = -4 < 0$ : c'est un maximum. $\pi(30) = -1\,800 + 3\,600 - 1\,000 = 800$.
2) $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ : $f$ croît sur $]-\infty ; -1]$, décroît sur $[-1 ; 1]$, croît sur $[1 ; +\infty[$. Maximum local $f(-1) = 2$ ; minimum local $f(1) = -2$. $f''(x) = 6x$ change de signe en 0 : point d'inflexion $(0 ; 0)$.
L'essentiel — Étude de fonctions
- Sens de variation : $f' > 0$ croissante, $f' < 0$ décroissante.
- Extremum en $a$ : $f'(a) = 0$ avec changement de signe ; $f''(a) < 0$ maximum, $f''(a) > 0$ minimum.
- Convexité : $f'' > 0$ convexe, $f'' < 0$ concave ; point d'inflexion quand $f''$ change de signe.
- Asymptotes : verticale ($x = a$), horizontale ($y = b$), oblique.
- Plan type : domaine → limites → dérivée et variations → extremums → convexité → courbe.
- Économie : profit maximal quand $\pi'(q) = 0$, soit $Rm = Cm$.