La gestion budgétaire des ventes et de la production
5.1 Le budget des ventes
Point de départ de la gestion budgétaire (méthode des « moindres carrés », coefficients saisonniers, ou taux de croissance).
$$y = ax + b \quad \text{(ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés)}$$
$$a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \quad ; \quad b = \bar{y} - a\bar{x}$$
5.2 Les coefficients saisonniers
$$\text{Coefficient saisonnier} = \frac{\text{Valeur de la période}}{\text{Moyenne des valeurs de l'année}}$$
Prévision d'une période = Valeur ajustée (tendance) × coefficient saisonnier correspondant.
5.3 Le budget de production
Une fois les ventes prévues, il faut déterminer le programme de production en tenant compte des stocks souhaités :
$$\text{Production à lancer} = \text{Ventes prévues} + \text{Stock final souhaité} - \text{Stock initial}$$
Lorsque les capacités de production sont limitées (goulot d'étranglement), on recourt à la programmation linéaire pour maximiser la marge sous contrainte de ressources rares.
Exercice 1
Les ventes prévues du mois sont de 4 000 unités. L'entreprise souhaite un stock final de 800 unités et dispose d'un stock initial de 300 unités.
Question — Calculez la quantité à produire.
Voir le corrigé
$$\text{Production} = 4\,000 + 800 - 300 = 4\,500 \text{ unités}$$
Exercice 2 — Tendance, saisonnalité et production
Partie A — Ventes annuelles (en milliers d'unités) : année 1 : 100 ; année 2 : 120 ; année 3 : 130 ; année 4 : 150. Ajustez une droite par les moindres carrés et prévoyez l'année 5.
Partie B — La tendance trimestrielle est $y = 50x + 1\,000$ (x = rang du trimestre). Coefficients saisonniers : T1 = 0,8 ; T2 = 1,1 ; T3 = 1,3 ; T4 = 0,8. Prévoyez les ventes des trimestres 9 à 12. Le stock au début du trimestre 9 est de 200 unités et l'entreprise veut un stock final égal à 20 % des ventes du trimestre suivant : combien produire au trimestre 9 ?
Voir le corrigé
Partie A — $\bar{x} = 2{,}5$ ; $\bar{y} = 125$ ; $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 37{,}5 + 2{,}5 + 2{,}5 + 37{,}5 = 80$ ; $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 5$.
$a = 80 / 5 = 16$ ; $b = 125 - 16 \times 2{,}5 = 85$ ; prévision année 5 : $16 \times 5 + 85 = 165$ milliers.
Partie B
| Trimestre | Rang | Tendance | Coefficient | Prévision |
|---|---|---|---|---|
| T1 | 9 | 1 450 | 0,8 | 1 160 |
| T2 | 10 | 1 500 | 1,1 | 1 650 |
| T3 | 11 | 1 550 | 1,3 | 2 015 |
| T4 | 12 | 1 600 | 0,8 | 1 280 |
Stock final souhaité au T1 $= 20\% \times 1\,650 = 330$ ; production T1 $= 1\,160 + 330 - 200 = 1\,290$ unités.
L'essentiel — Budgets des ventes et de la production
- Le budget des ventes est le point de départ de toute la gestion budgétaire.
- Tendance par les moindres carrés : $y = ax + b$ avec $a = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$ et $b = \bar{y} - a\bar{x}$.
- Coefficient saisonnier $= \dfrac{\text{valeur de la période}}{\text{moyenne de l'année}}$ ; prévision $= \text{tendance} \times \text{coefficient}$.
- Budget de production : $\text{production} = \text{ventes prévues} + \text{stock final souhaité} - \text{stock initial}$.
- Capacités limitées : programmation linéaire pour maximiser la marge sous contraintes.