Suites numériques
I. Généralités
Une suite numérique $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$.
- Définition explicite : $u_n = f(n)$ (ex. $u_n = 3n + 1$) ;
- Définition par récurrence : $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$.
Sens de variation
- $(u_n)$ croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ ;
- $(u_n)$ décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ ;
- pour une suite à termes positifs, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Suites majorées, minorées, bornées
$(u_n)$ est majorée s'il existe $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; minorée si $u_n \geq m$ ; bornée si elle est les deux.
Le raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :
- Initialisation : vérifier $P(n_0)$ ;
- Hérédité : supposer $P(n)$ vraie et démontrer $P(n + 1)$ ;
- Conclusion.
II. Les suites arithmétiques
$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Terme général | $u_n = u_0 + nr = u_p + (n - p)r$ |
| Somme de termes consécutifs | $S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}$ |
| Exemple | $u_0 + u_1 + \dots + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$ |
Variation : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.
III. Les suites géométriques
$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q \, u_n$.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Terme général | $u_n = u_0 \, q^n = u_p \, q^{n-p}$ |
| Somme (pour $q \neq 1$) | $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ |
| Exemple | $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ |
IV. La convergence
$(u_n)$ converge vers $\ell$ si $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ (réel) ; sinon elle diverge.
Limite de $q^n$ :
| $q$ | $\lim q^n$ |
|---|---|
| $q > 1$ | $+\infty$ |
| $q = 1$ | $1$ |
| $-1 < q < 1$ | $0$ |
| $q \leq -1$ | pas de limite |
Théorèmes :
- Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
- Gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.
- Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$.
V. Application économique
Un capital $C_0$ placé à intérêts composés au taux annuel $t$ devient après $n$ années : $C_n = C_0 (1 + t)^n$ (suite géométrique de raison $1 + t$).
Exercice 1 — Suite arithmétique
$(u_n)$ est arithmétique avec $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$.
- Calculez la raison et $u_0$.
- Calculez $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$.
Voir le corrigé
- $u_7 = u_3 + 4r$ donc $23 = 11 + 4r$, soit $r = 3$ ; $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2$.
- $u_{20} = 2 + 20 \times 3 = 62$ ; $S = \frac{21 \times (2 + 62)}{2} = 672$.
Exercice 2 — Suite récurrente (type examen)
On considère $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 3$. On pose $v_n = u_n - 6$.
- Montrez que $(v_n)$ est géométrique ; précisez sa raison et son premier terme.
- Exprimez $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
- Calculez $\lim u_n$.
- Calculez $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_{n-1}$.
Voir le corrigé
- $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \frac{1}{2} u_n + 3 - 6 = \frac{1}{2} u_n - 3 = \frac{1}{2}(u_n - 6) = \frac{1}{2} v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 2 - 6 = -4$.
- $v_n = -4 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et $u_n = 6 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^n$.
- $-1 < \frac{1}{2} < 1$ donc $\lim \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ et $\lim u_n = 6$.
- $S_n = -4 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = -8\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$.
Exercice 3 — Intérêts composés
Un capital de 50 000 DH est placé à 4 % par an, intérêts composés.
- Quel est le capital après 5 ans ?
- Au bout de combien d'années dépasse-t-il 70 000 DH ?
Voir le corrigé
- $C_5 = 50\,000 \times 1{,}04^5 \approx 60\,832{,}65$ DH.
- On cherche $n$ tel que $1{,}04^n > 1{,}4$ : $n > \frac{\ln 1{,}4}{\ln 1{,}04} \approx 8{,}58$, donc 9 ans.
L'essentiel — Suites
- Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ ; $u_n = u_0 + nr$ ; $S = \frac{\text{nb termes} \times (\text{1er} + \text{dernier})}{2}$.
- Géométrique : $u_{n+1} = q u_n$ ; $u_n = u_0 q^n$ ; $S = \text{1er} \times \frac{1 - q^{\text{nb termes}}}{1 - q}$.
- Limite de $q^n$ : $+\infty$ si $q > 1$ ; $0$ si $-1 < q < 1$.
- Croissante et majorée → converge ; décroissante et minorée → converge.
- Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
- Méthode : suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell$ souvent géométrique.
- Intérêts composés : $C_n = C_0(1 + t)^n$.