Dénombrement
I. Ensembles finis et cardinal
Le cardinal d'un ensemble fini $E$, noté $\text{card}(E)$, est le nombre de ses éléments.
- $\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$ ;
- Complémentaire : $\text{card}(\overline{A}) = \text{card}(E) - \text{card}(A)$.
II. Le principe multiplicatif (principe fondamental)
Si une expérience se déroule en $p$ étapes, avec $n_1$ possibilités pour la 1ʳᵉ, $n_2$ pour la 2ᵉ, …, $n_p$ pour la $p$-ième, le nombre total de possibilités est :
$$n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p$$
III. Les outils de dénombrement
1. Factorielle
$$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \qquad 0! = 1$$
2. Arrangements (l'ordre compte, sans répétition)
Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ ($p \leq n$) :
$$A_n^p = \frac{n!}{(n - p)!} = n(n-1)\cdots(n-p+1)$$
3. Permutations
Un arrangement des $n$ éléments : $A_n^n = n!$.
4. Combinaisons (l'ordre ne compte pas)
Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre :
$$C_n^p = \frac{n!}{p!(n - p)!} = \frac{A_n^p}{p!}$$
Propriétés : $C_n^0 = C_n^n = 1$ ; $C_n^1 = n$ ; $C_n^p = C_n^{n-p}$ ; $C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}$.
5. p-listes (l'ordre compte, avec répétition)
Nombre de suites de $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, répétitions permises : $n^p$.
IV. Les tirages
| Type de tirage | Ordre | Répétition | Nombre de résultats |
|---|---|---|---|
| Successif avec remise | Oui | Oui | $n^p$ |
| Successif sans remise | Oui | Non | $A_n^p$ |
| Simultané | Non | Non | $C_n^p$ |
Méthode : se demander si l'ordre compte et si les répétitions sont possibles.
Exercice 1 — Calculs
Calculez : $5!$ ; $A_6^3$ ; $C_8^3$ ; $C_{10}^{8}$.
Voir le corrigé
$5! = 120$ ; $A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ ; $C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = 56$ ; $C_{10}^8 = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.
Exercice 2 — Tirages dans une urne
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 3 boules.
Pour chaque mode de tirage (simultané, successif sans remise, successif avec remise), calculez le nombre total de tirages et le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges.
Voir le corrigé
Simultané : total $C_8^3 = 56$ ; exactement 2 rouges : $C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$.
Successif sans remise : total $A_8^3 = 336$ ; exactement 2 rouges : $A_5^2 \times A_3^1 \times 3 = 20 \times 3 \times 3 = 180$ (3 positions possibles pour la verte).
Successif avec remise : total $8^3 = 512$ ; exactement 2 rouges : $5^2 \times 3 \times 3 = 225$.
Exercice 3 — Comité
Dans une classe de 20 élèves (12 filles, 8 garçons), on forme un comité de 4 élèves. Combien de comités comprennent au moins un garçon ?
Voir le corrigé
Total : $C_{20}^4 = 4\,845$. Comités sans garçon (4 filles) : $C_{12}^4 = 495$. Au moins un garçon : $4\,845 - 495 = 4\,350$.
L'essentiel — Dénombrement
- Principe multiplicatif : $n_1 \times n_2 \times \dots$
- $n! = n(n-1)\cdots 1$ ; $0! = 1$.
- Arrangements (ordre, sans répétition) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
- Combinaisons (sans ordre) : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ ; $C_n^p = C_n^{n-p}$.
- p-listes (ordre, avec répétition) : $n^p$.
- Tirages : avec remise → $n^p$ ; sans remise → $A_n^p$ ; simultané → $C_n^p$.
- « Au moins un » → passer par le complémentaire.