Limites et continuité

I. Rappels sur les limites

1. Limites usuelles

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$

2. Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini

• La limite d'un polynôme en $\pm\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
• La limite d'une fonction rationnelle en $\pm\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2}$.

3. Formes indéterminées

$$+\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$$

Pour les lever : factoriser, simplifier, utiliser l'expression conjuguée (avec les racines carrées), ou le terme de plus haut degré.

4. Opérations sur les limites

Somme, produit et quotient suivent des règles connues ; la limite d'une composée : si $\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\lim_{X \to b} f(X) = \ell$, alors $\lim_{x \to a} f(u(x)) = \ell$.

5. Limites et ordre

Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Théorème des gendarmes : si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$, alors $\lim f(x) = \ell$.

II. La continuité

1. Définition

$f$ est continue en $a$ si $f$ est définie en $a$ et $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ (sa courbe se trace « sans lever le crayon »).

Continuité à droite et à gauche : $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

2. Fonctions continues usuelles

Les polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur domaine), $\sqrt{x}$ sur $[0 ; +\infty[$, $|x|$, et les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues.

3. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a ; b]$.

Cas particulier : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a ; b[$.

Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a ; b]$, la solution est unique.

4. Image d'un intervalle

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a ; b]$ : $f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)]$. Si elle est continue et strictement décroissante : $f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)]$.

5. La méthode de dichotomie

Pour encadrer une solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ : on coupe l'intervalle en deux, on garde la moitié où $f$ change de signe, et on recommence.