Fonctions logarithmiques

I. La fonction logarithme népérien

1. Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ qui s'annule en 1.

• Domaine : $]0 ; +\infty[$ ;
• $\ln 1 = 0$ ; $\ln e = 1$ avec $e \approx 2{,}718$ ;
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Propriétés algébriques

Pour $a > 0$, $b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln\frac{1}{b} = -\ln b \qquad \ln(a^n) = n \ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a$$

3. Équations et inéquations

Pour $a > 0$ et $b > 0$ :

$$\ln a = \ln b \iff a = b \qquad \ln a < \ln b \iff a < b$$

$$\ln x = k \iff x = e^k \qquad \ln x > 0 \iff x > 1 \qquad \ln x < 0 \iff 0 < x < 1$$

Toujours commencer par déterminer le domaine (les expressions sous ln doivent être strictement positives).

II. Étude de la fonction ln

• $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ (car $\frac{1}{x} > 0$) ;
• Limites :

$$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$

• La droite $x = 0$ est asymptote verticale ; branche parabolique de direction l'axe des abscisses en $+\infty$.

Limites importantes (croissances comparées)

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \qquad \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$

Plus généralement, pour $n \geq 1$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$.

III. Dérivée de $\ln(u)$

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ :

$$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$

Si $u$ ne s'annule pas : $(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$.

IV. Le logarithme décimal

$$\log x = \frac{\ln x}{\ln 10} \qquad \log 10 = 1 \qquad \log 10^n = n$$

Il a les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ ; il est utile pour calculer le nombre de chiffres d'un entier ou résoudre $a^n > b$.