Probabilités
I. Vocabulaire
| Terme | Définition |
|---|---|
| Expérience aléatoire | Expérience dont on connaît les résultats possibles mais pas celui qui se produira |
| Univers $\Omega$ | Ensemble de tous les résultats possibles (éventualités) |
| Événement | Partie de $\Omega$ |
| Événement élémentaire | Événement formé d'un seul résultat |
| Événement impossible / certain | $\emptyset$ / $\Omega$ |
| Événement contraire $\overline{A}$ | Se réalise quand $A$ ne se réalise pas |
| Incompatibles | $A \cap B = \emptyset$ |
II. Probabilité
- $0 \leq p(A) \leq 1$ ; $p(\Omega) = 1$ ; $p(\emptyset) = 0$ ;
- $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$ ;
- $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Équiprobabilité : si tous les résultats ont la même probabilité,
$$p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
III. Probabilité conditionnelle et indépendance
Probabilité de $A$ sachant $B$ ($p(B) \neq 0$), notée $p(A/B)$ ou $p_B(A)$ :
$$p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} \qquad \text{donc} \qquad p(A \cap B) = p(B) \times p(A/B)$$
Formule des probabilités totales : si $B_1, \dots, B_n$ forment une partition de $\Omega$ :
$$p(A) = p(B_1) \, p(A/B_1) + \dots + p(B_n) \, p(A/B_n)$$
Un arbre pondéré permet de représenter ces situations.
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
IV. Variable aléatoire
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque résultat de l'expérience.
- Loi de probabilité : tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $p(X = x_i)$, avec $\sum p_i = 1$ ;
- Espérance : $E(X) = \sum x_i \, p(X = x_i)$ (valeur moyenne) ;
- Variance : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum x_i^2 p_i - [E(X)]^2$ ;
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
V. La loi binomiale
On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec ($1 - p$). $X$ = nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ :
$$p(X = k) = C_n^k \, p^k \, (1 - p)^{n-k} \qquad k = 0, 1, \dots, n$$
$$E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p)$$
Exercice 1 — Tirage simultané (type examen)
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire simultanément 3 boules.
- Calculez la probabilité des événements : $A$ « obtenir 3 boules noires » ; $B$ « obtenir exactement 2 blanches » ; $C$ « obtenir au moins une blanche ».
- Soit $X$ le nombre de boules blanches tirées. Donnez la loi de $X$ et calculez $E(X)$.
Voir le corrigé
$\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = 120$.
- $p(A) = \frac{C_6^3}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ ; $p(B) = \frac{C_4^2 \times C_6^1}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$ ; $p(C) = 1 - p(A) = \frac{5}{6}$.
- Loi de $X$ :
| $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $p(X = x_i)$ | $\frac{20}{120}$ | $\frac{60}{120}$ | $\frac{36}{120}$ | $\frac{4}{120}$ |
($C_4^1 C_6^2 = 4 \times 15 = 60$ ; $C_4^3 = 4$ ; total $= 120$.)
$E(X) = \frac{0 \times 20 + 1 \times 60 + 2 \times 36 + 3 \times 4}{120} = \frac{144}{120} = 1{,}2$.
Exercice 2 — Probabilités conditionnelles
Dans une entreprise, 60 % des salariés sont des hommes. 30 % des hommes et 50 % des femmes suivent une formation. On choisit un salarié au hasard.
- Calculez la probabilité qu'il suive une formation.
- Sachant qu'il suit une formation, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Voir le corrigé
Notons $H$ « homme », $F$ « femme », $T$ « suit une formation ».
- $p(T) = p(H) \, p(T/H) + p(F) \, p(T/F) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}18 + 0{,}2 = 0{,}38$.
- $p(F/T) = \frac{p(F \cap T)}{p(T)} = \frac{0{,}2}{0{,}38} = \frac{10}{19} \approx 0{,}526$.
Exercice 3 — Loi binomiale
Un QCM comporte 5 questions indépendantes à 4 propositions dont une seule est juste. Un élève répond au hasard. $X$ est le nombre de bonnes réponses.
- Quelle est la loi de $X$ ?
- Calculez $p(X = 2)$ et $p(X \geq 1)$.
- Calculez $E(X)$.
Voir le corrigé
- $X$ suit $\mathcal{B}(5 ; 0{,}25)$.
- $p(X = 2) = C_5^2 (0{,}25)^2 (0{,}75)^3 = 10 \times 0{,}0625 \times 0{,}421875 \approx 0{,}264$. $p(X \geq 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0{,}75^5 \approx 1 - 0{,}237 = 0{,}763$.
- $E(X) = 5 \times 0{,}25 = 1{,}25$.
L'essentiel — Probabilités
- $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$ ; $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
- Équiprobabilité : $p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
- Conditionnelle : $p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$ ; arbre pondéré ; probabilités totales.
- Indépendance : $p(A \cap B) = p(A)p(B)$.
- Variable aléatoire : loi ($\sum p_i = 1$) ; $E(X) = \sum x_i p_i$ ; $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ; $\sigma = \sqrt{V}$.
- Binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ : $p(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ ; $E = np$ ; $V = np(1-p)$.