Fonctions primitives
I. Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et :
$$F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I$$
Propriétés :
- Toute fonction continue sur $I$ admet des primitives sur $I$ ;
- Si $F$ est une primitive de $f$, les primitives de $f$ sont les fonctions $x \mapsto F(x) + C$, avec $C \in \mathbb{R}$ ;
- Il existe une unique primitive $F$ qui vérifie une condition $F(x_0) = y_0$.
II. Primitives des fonctions usuelles
| $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Intervalle |
|---|---|---|
| $k$ | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ (ou $]0;+\infty[$ si $n < 0$) |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln x$ | $]0 ; +\infty[$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $-\frac{1}{x}$ | $]0 ; +\infty[$ ou $]-\infty ; 0[$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0 ; +\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
III. Primitives et opérations (formes composées)
| Forme de $f$ | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| $u' u^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ | |
| $\frac{u'}{u}$ | $\ln|u|$ | $u$ ne s'annule pas |
| $\frac{u'}{u^2}$ | $-\frac{1}{u}$ | $u$ ne s'annule pas |
| $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ | $u > 0$ |
| $u' e^{u}$ | $e^{u}$ |
Linéarité : une primitive de $af + bg$ est $aF + bG$.
Méthode : reconnaître la forme, puis ajuster la constante multiplicative.
Exemple : $f(x) = x(x^2 + 1)^3$. On reconnaît $\frac{1}{2} \times 2x (x^2 + 1)^3 = \frac{1}{2} u' u^3$ avec $u = x^2 + 1$, donc $F(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(x^2 + 1)^4}{4} = \frac{(x^2 + 1)^4}{8}$.
Exercice 1 — Primitives usuelles
Déterminez une primitive de : 1) $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ ; 2) $g(x) = \frac{2}{x} + e^x$ sur $]0 ; +\infty[$ ; 3) $h(x) = \frac{1}{x^2} - \sqrt{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ (on écrira $\sqrt{x} = x^{1/2}$).
Voir le corrigé
- $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$.
- $G(x) = 2\ln x + e^x$.
- $H(x) = -\frac{1}{x} - \frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{1}{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x}$.
Exercice 2 — Formes composées
Déterminez une primitive de : 1) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ ; 2) $g(x) = 3e^{3x - 2}$ ; 3) $h(x) = (2x + 1)^4$ ; 4) $k(x) = x e^{x^2}$.
Voir le corrigé
- Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$ : $F(x) = \ln(x^2 + 1)$.
- Forme $u'e^u$ : $G(x) = e^{3x - 2}$.
- $h(x) = \frac{1}{2} \times 2(2x + 1)^4$ : $H(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(2x + 1)^5}{5} = \frac{(2x + 1)^5}{10}$.
- $k(x) = \frac{1}{2} \times 2x e^{x^2}$ : $K(x) = \frac{1}{2} e^{x^2}$.
Exercice 3 — Condition initiale
Déterminez la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 1$ qui vérifie $F(1) = 5$.
Voir le corrigé
$F(x) = x^2 + x + C$ ; $F(1) = 2 + C = 5$, donc $C = 3$ : $F(x) = x^2 + x + 3$.
L'essentiel — Primitives
- $F$ primitive de $f$ : $F' = f$ ; les primitives sont $F + C$.
- Usuelles : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\frac{1}{x} \to \ln x$ ; $\frac{1}{x^2} \to -\frac{1}{x}$ ; $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}$ ; $e^x \to e^x$.
- Composées : $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\frac{u'}{u} \to \ln|u|$ ; $\frac{u'}{u^2} \to -\frac{1}{u}$ ; $\frac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}$ ; $u'e^u \to e^u$.
- Ajuster la constante multiplicative ; condition initiale → valeur de $C$.