Calcul intégral
I. Définition
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$, et $a, b \in I$. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est :
$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
II. Propriétés
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Bornes égales | $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ |
| Inversion des bornes | $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Relation de Chasles | $\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f$ |
| Linéarité | $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$ |
| Positivité | Si $a \leq b$ et $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f \geq 0$ |
| Ordre | Si $a \leq b$ et $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ |
III. Valeur moyenne
La valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ ($a < b$) est :
$$\mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx$$
IV. Intégrale et aire
Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les unités des axes.
- Si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ : l'aire du domaine limité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$, $x = b$ est $\int_a^b f(x)\,dx$ u.a. ;
- Si $f \leq 0$ : l'aire est $-\int_a^b f(x)\,dx$ ;
- Aire entre deux courbes ($f \geq g$ sur $[a ; b]$) : $\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$.
Aire en cm² : aire en u.a. × (unité de l'axe des abscisses en cm) × (unité de l'axe des ordonnées en cm).
V. L'intégration par parties
Si $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[a ; b]$ :
$$\int_a^b u'(x) v(x)\,dx = \Big[u(x) v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x)\,dx$$
On l'utilise pour des produits comme $x e^x$ ou $x \ln x$, en choisissant $v$ de façon que $v'$ soit plus simple.
Exercice 1 — Calculs directs
Calculez : 1) $I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$ ; 2) $J = \int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ ; 3) $K = \int_0^1 e^{2x}\,dx$.
Voir le corrigé
- $I = \Big[x^3 - x^2 + x\Big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$.
- $J = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$.
- $K = \Big[\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$.
Exercice 2 — Intégration par parties
Calculez $L = \int_0^1 x e^x\,dx$.
Voir le corrigé
On pose $u'(x) = e^x$, $u(x) = e^x$ et $v(x) = x$, $v'(x) = 1$ :
$$L = \Big[x e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (e - 0) - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = 1$$
Exercice 3 — Aire
Calculez l'aire du domaine limité par la courbe de $f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = 3$ (unité : 2 cm sur chaque axe).
Voir le corrigé
$f \geq 0$ sur $[1 ; 3]$ : $A = \int_1^3 x^2\,dx = \Big[\frac{x^3}{3}\Big]_1^3 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ u.a. Une u.a. $= 2 \times 2 = 4$ cm², donc $A = \frac{104}{3} \approx 34{,}67$ cm².
L'essentiel — Calcul intégral
- $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
- Chasles : $\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f$ ; linéarité ; positivité ; ordre.
- Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$.
- Aire : $\int_a^b f$ si $f \geq 0$ ; $-\int_a^b f$ si $f \leq 0$ ; entre deux courbes : $\int_a^b (f - g)$.
- Par parties : $\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'$.
- Aire en cm² = u.a. × unités des axes.