Dérivation et étude des fonctions
I. Le nombre dérivé
$f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ existe et est finie. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.
Tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ :
$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
II. Les dérivées usuelles
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ($x > 0$) |
III. Les opérations
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $u + v$ | $u' + v'$ |
| $k u$ | $k u'$ |
| $u v$ | $u'v + uv'$ |
| $\frac{1}{v}$ | $-\frac{v'}{v^2}$ |
| $\frac{u}{v}$ | $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| $u^n$ | $n u' u^{n-1}$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
IV. Dérivée et variations
Sur un intervalle $I$ :
- $f'(x) > 0$ (sauf en des points isolés où elle s'annule) → $f$ strictement croissante ;
- $f'(x) < 0$ → $f$ strictement décroissante ;
- $f'(x) = 0$ → $f$ constante.
Extremum : si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $a$ (maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$, minimum sinon).
V. Convexité et point d'inflexion
- $f''(x) \geq 0$ sur $I$ : $(C_f)$ est convexe (au-dessus de ses tangentes) ;
- $f''(x) \leq 0$ : $(C_f)$ est concave ;
- si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, le point $A(a ; f(a))$ est un point d'inflexion.
VI. Asymptotes et branches infinies
| Situation | Conclusion |
|---|---|
| $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ | Asymptote verticale d'équation $x = a$ |
| $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ | Asymptote horizontale d'équation $y = b$ |
| $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ | Asymptote oblique d'équation $y = ax + b$ |
Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ sans asymptote connue, on étudie $\lim \frac{f(x)}{x}$ :
- $= \pm\infty$ : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées ;
- $= 0$ : branche parabolique de direction l'axe des abscisses ;
- $= a \neq 0$ puis $\lim [f(x) - ax] = b$ : asymptote oblique $y = ax + b$ ; si cette limite est infinie : branche parabolique de direction $y = ax$.
Position relative courbe / asymptote : étudier le signe de $f(x) - (ax + b)$.
VII. Plan d'étude d'une fonction
- Domaine de définition ;
- Limites aux bornes et asymptotes ;
- Dérivée, signe, tableau de variations ;
- Éventuellement $f''$, convexité, points d'inflexion ;
- Points particuliers (intersections avec les axes), tangentes ;
- Représentation graphique.
Exercice 1 — Dérivées
Calculez la dérivée de : 1) $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$ ; 2) $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ ; 3) $h(x) = (x^2 + 1)^4$ ; 4) $k(x) = \sqrt{3x + 1}$.
Voir le corrigé
- $f'(x) = 6x^2 - 10x + 4$.
- $g'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}$.
- $h'(x) = 4 \times 2x \times (x^2 + 1)^3 = 8x(x^2 + 1)^3$.
- $k'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$.
Exercice 2 — Étude complète
Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$.
- Calculez les limites en $\pm\infty$.
- Étudiez les variations de $f$ et dressez son tableau de variations.
- Donnez l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
- Étudiez la convexité et déterminez le point d'inflexion.
Voir le corrigé
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (terme $x^3$).
- $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ : positive sur $]-\infty ; -1]$ et $[1 ; +\infty[$, négative sur $[-1 ; 1]$. $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ (maximum local) ; $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ (minimum local).
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | $-\infty$ | ↗ | $3$ | ↘ | $-1$ | ↗ | $+\infty$ |
- $f'(0) = -3$ et $f(0) = 1$ : $y = -3x + 1$.
- $f''(x) = 6x$ : négative sur $]-\infty ; 0]$ (concave), positive sur $[0 ; +\infty[$ (convexe). Point d'inflexion : $I(0 ; 1)$.
Exercice 3 — Asymptote oblique
Soit $g(x) = x + 2 + \frac{1}{x - 1}$ sur $]1 ; +\infty[$. Montrez que la droite $(D) : y = x + 2$ est asymptote à la courbe en $+\infty$ et étudiez leur position relative.
Voir le corrigé
$g(x) - (x + 2) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ quand $x \to +\infty$ : $(D)$ est asymptote oblique. Sur $]1 ; +\infty[$, $\frac{1}{x - 1} > 0$ : la courbe est au-dessus de $(D)$.
L'essentiel — Dérivation
- Tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- Dérivées : $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
- Opérations : $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ; $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
- $f' > 0$ → croissante ; $f' < 0$ → décroissante ; $f'$ s'annule en changeant de signe → extremum.
- $f'' \geq 0$ → convexe ; $f'' \leq 0$ → concave ; changement de signe → point d'inflexion.
- Asymptotes : verticale $x = a$ ; horizontale $y = b$ ; oblique $y = ax + b$ si $f(x) - (ax + b) \to 0$.