Fonctions exponentielles
I. La fonction exponentielle népérienne
1. Définition
La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$ (ou $\exp$), est la fonction réciproque de $\ln$ :
$$y = e^x \iff x = \ln y \quad (y > 0)$$
- Définie sur $\mathbb{R}$, strictement positive : $e^x > 0$ ;
- $e^0 = 1$ ; $e^1 = e \approx 2{,}718$ ;
- $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ; $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$.
2. Propriétés algébriques
$$e^{a+b} = e^a e^b \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad (e^a)^n = e^{na}$$
3. Équations et inéquations
$$e^a = e^b \iff a = b \qquad e^a < e^b \iff a < b \qquad e^x = k \iff x = \ln k \ (k > 0)$$
L'équation $e^x = k$ n'a pas de solution si $k \leq 0$.
II. Étude de la fonction exp
- $(e^x)' = e^x$ ; donc $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
- Limites :
$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
- La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ ; branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en $+\infty$.
Limites importantes
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$
Plus généralement : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.
III. Dérivée de $e^{u}$
Si $u$ est dérivable sur $I$ :
$$\left(e^{u}\right)' = u' e^{u}$$
Exemples : $(e^{3x})' = 3e^{3x}$ ; $(e^{-x^2})' = -2x e^{-x^2}$.
IV. La fonction $x \mapsto a^x$
Pour $a > 0$ : $a^x = e^{x \ln a}$, de dérivée $(\ln a) \, a^x$.
Exercice 1 — Équations
Résolvez dans $\mathbb{R}$ :
- $e^{2x - 1} = e^{x + 3}$
- $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ (poser $X = e^x$)
- $e^x > 5$
Voir le corrigé
- $2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$ : $S = \{4\}$.
- $X^2 - 3X + 2 = 0 \iff (X - 1)(X - 2) = 0 \iff X = 1$ ou $X = 2$. Donc $e^x = 1 \iff x = 0$ et $e^x = 2 \iff x = \ln 2$ : $S = \{0 ; \ln 2\}$.
- $x > \ln 5$ : $S = ]\ln 5 ; +\infty[$.
Exercice 2 — Étude de fonction (type examen)
Soit $f(x) = (x - 1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.
- Calculez $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
- Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de variations.
- Donnez l'équation de la tangente au point d'abscisse 1.
Voir le corrigé
- En $-\infty$ : $f(x) = xe^x - e^x$ ; $\lim xe^x = 0$ et $\lim e^x = 0$, donc $\lim f(x) = 0$ (asymptote horizontale $y = 0$). En $+\infty$ : $(x - 1) \to +\infty$ et $e^x \to +\infty$, donc $\lim f(x) = +\infty$.
- $f'(x) = 1 \times e^x + (x - 1)e^x = x e^x$ ; du signe de $x$ (car $e^x > 0$) : décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$. Minimum : $f(0) = -1$.
- $f(1) = 0$ et $f'(1) = e$ : $y = e(x - 1)$.
Exercice 3 — Dérivées
Dérivez : 1) $g(x) = e^{x^2 + 1}$ ; 2) $h(x) = \frac{e^x}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$.
Voir le corrigé
- $g'(x) = 2x e^{x^2 + 1}$.
- $h'(x) = \frac{e^x \times x - e^x \times 1}{x^2} = \frac{(x - 1)e^x}{x^2}$.
L'essentiel — Exponentielle
- $e^x > 0$ ; $e^0 = 1$ ; $\ln(e^x) = x$ ; $e^{\ln x} = x$ ($x > 0$).
- $e^{a+b} = e^a e^b$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ ; $(e^a)^n = e^{na}$.
- $e^x = k \iff x = \ln k$ ($k > 0$) ; pas de solution si $k \leq 0$.
- $(e^x)' = e^x$ ; strictement croissante.
- $\lim_{-\infty} e^x = 0$ ; $\lim_{+\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim_{+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ ; $\lim_{-\infty} xe^x = 0$ ; $\lim_0 \frac{e^x - 1}{x} = 1$.
- $(e^u)' = u'e^u$.