La multicolinéarité et les erreurs de spécification

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• définir la multicolinéarité, en reconnaître les symptômes et la mesurer (VIF, règle de Klein) ;
• proposer des remèdes à la multicolinéarité ;
• calculer le biais dû à l'omission d'une variable pertinente ;
• détecter une mauvaise forme fonctionnelle (test RESET) ;
• tester la stabilité des coefficients (test de Chow).

6.1 La multicolinéarité

Il y a multicolinéarité lorsque des variables explicatives sont fortement corrélées entre elles (par exemple le revenu et le patrimoine des ménages, ou le PIB et la population dans une série temporelle). La colinéarité parfaite empêche l'estimation ($X'X$ non inversible) ; la colinéarité forte mais imparfaite est la plus fréquente.

Conséquences : les estimateurs MCO restent sans biais et BLUE, mais :

• leurs variances sont élevées : les coefficients sont estimés avec peu de précision ;
• les statistiques $t$ sont faibles, alors que le $R^2$ et le $F$ global sont élevés ;
• les estimations sont instables (elles changent beaucoup si l'on ajoute ou retire quelques observations) et peuvent avoir des signes inattendus.

Intuitivement, si deux variables évoluent toujours ensemble, les données ne permettent pas de séparer leurs effets respectifs.

6.2 Détecter la multicolinéarité

• Matrice des corrélations entre variables explicatives : une corrélation supérieure à 0,8 ou 0,9 en valeur absolue est un signal.
• Règle de Klein : il y a présomption de multicolinéarité si le carré d'une corrélation entre deux variables explicatives dépasse le $R^2$ du modèle.
• Facteur d'inflation de la variance (VIF) : on régresse chaque variable explicative $x_j$ sur les autres et on note $R_j^2$ ;

$$\boxed{VIF_j = \frac{1}{1 - R_j^2}}$$

Le VIF indique par combien la variance de $\hat{\beta}_j$ est multipliée par rapport à une situation sans corrélation. Un VIF supérieur à 10 (soit $R_j^2 > 0{,}9$) signale une multicolinéarité préoccupante. Avec deux variables explicatives, $R_j^2 = r_{12}^2$.

6.3 Remèdes

• Augmenter la taille de l'échantillon ou la variabilité des données.
• Supprimer une variable redondante, si la théorie le permet (attention au biais d'omission, section 6.4).
• Combiner les variables corrélées en un indicateur unique, ou utiliser des ratios (par habitant, en pourcentage du PIB).
• Transformer les variables (différences premières pour des séries temporelles).
• Utiliser une information extérieure (une élasticité estimée par ailleurs) ou des méthodes spécifiques (régression sur composantes principales, régression « ridge »).

Si le but est seulement la prévision et que la structure de corrélation reste stable, la multicolinéarité est moins gênante.

6.4 L'omission d'une variable pertinente

Supposons que le vrai modèle soit $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \varepsilon$, mais que l'on estime $y = \alpha_0 + \alpha_1 x_1 + u$. L'estimateur de la régression simple est biaisé :

$$\boxed{E(\hat{\alpha}_1) = \beta_1 + \beta_2 \times \frac{S_{12}}{S_{11}}}$$

Le biais est nul seulement si $\beta_2 = 0$ ou si $x_1$ et $x_2$ sont non corrélées. Son signe est celui du produit de $\beta_2$ et de la corrélation entre $x_1$ et $x_2$. C'est la principale source d'erreur d'interprétation en économétrie appliquée : l'effet attribué à $x_1$ inclut en partie celui de la variable omise.

Inclure une variable non pertinente n'introduit pas de biais, mais réduit la précision des autres estimateurs (perte de degrés de liberté, colinéarité).

6.5 La forme fonctionnelle et les autres erreurs

• Mauvaise forme fonctionnelle (relation courbe estimée par une droite) : les résidus présentent une structure. Le test RESET de Ramsey ajoute au modèle les puissances des valeurs ajustées ($\hat{y}^2$, $\hat{y}^3$) et teste leur nullité par un test de Fisher ; si elles sont significatives, la forme est à revoir (logarithmes, termes quadratiques).
• Erreurs de mesure sur une variable explicative : elles biaisent le coefficient vers zéro (biais d'atténuation).
• Simultanéité : si $y$ influence aussi $x$ (le prix et la quantité se déterminent ensemble), $x$ est endogène et les MCO sont biaisés ; on recourt à des méthodes à variables instrumentales.

6.6 La stabilité des coefficients : le test de Chow

Une relation économique peut changer après un événement (réforme fiscale, crise, pandémie, changement de régime de change). Le test de Chow vérifie si les coefficients sont les mêmes sur deux sous-périodes de tailles $n_1$ et $n_2$ ($n = n_1 + n_2$). On estime le modèle sur l'ensemble ($SCR$) et sur chaque sous-période ($SCR_1$, $SCR_2$) :

$$\boxed{F = \frac{\left[SCR - (SCR_1 + SCR_2)\right] / k}{(SCR_1 + SCR_2) / (n - 2k)} \sim \mathcal{F}(k ;\, n - 2k)}$$

Si $F$ dépasse la valeur critique, on rejette la stabilité : il y a une rupture structurelle, et il faut estimer des modèles séparés ou introduire une indicatrice de période.

6.7 Méthode : diagnostiquer la spécification

1. Vérifier les signes et la cohérence théorique des coefficients.
2. Examiner la matrice des corrélations et les VIF ; comparer $R^2$ élevé et $t$ faibles.
3. Se demander quelles variables importantes ont pu être omises et dans quel sens elles biaisent les résultats.
4. Examiner les résidus et, si besoin, faire un test RESET.
5. Pour des séries temporelles, tester la stabilité (Chow) autour des dates de rupture plausibles.

Les pièges à éviter

• Croire que la multicolinéarité biaise les estimateurs : elle réduit leur précision.
• Supprimer une variable corrélée mais pertinente : on crée un biais d'omission.
• Conclure qu'une variable est inutile parce que son $t$ est faible, sans regarder la colinéarité.
• Oublier que le test de Chow compte $k$ paramètres par sous-période ($n - 2k$ ddl au dénominateur).
• Ignorer le sens du biais d'omission, qui aide pourtant à interpréter les résultats.