L'hétéroscédasticité et l'autocorrélation

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• définir l'hétéroscédasticité et l'autocorrélation des erreurs ;
• en expliquer les causes et les conséquences sur les estimateurs MCO ;
• détecter l'hétéroscédasticité (graphiques, Goldfeld-Quandt, White) ;
• détecter l'autocorrélation (graphiques, Durbin-Watson) ;
• corriger ces problèmes (écarts-types robustes, moindres carrés généralisés).

7.1 Les deux hypothèses en cause

Les hypothèses H3 et H4 du modèle linéaire (chapitre 2) portent sur la structure des erreurs :

• homoscédasticité : $V(\varepsilon_i) = \sigma^2$ pour tout $i$ ; si la variance varie d'une observation à l'autre, il y a hétéroscédasticité ;
• absence d'autocorrélation : $Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0$ ; si les erreurs sont corrélées entre elles, il y a autocorrélation (fréquente dans les séries temporelles).

7.2 Les conséquences communes

Dans les deux cas, les estimateurs MCO restent sans biais (si les autres hypothèses sont respectées), mais :

• ils ne sont plus efficaces (ils n'ont plus la variance minimale : le théorème de Gauss-Markov ne s'applique plus) ;
• surtout, les écarts-types calculés par les formules habituelles sont faux ; les tests de Student et de Fisher et les intervalles de confiance ne sont donc plus fiables. En cas d'autocorrélation positive, les écarts-types sont généralement sous-estimés : on conclut trop facilement à la significativité.

7.3 L'hétéroscédasticité

Causes : elle est fréquente en coupe instantanée lorsque les individus sont de tailles très différentes. Les dépenses de consommation des ménages aisés varient beaucoup plus que celles des ménages modestes ; les ventes des grandes entreprises varient plus en valeur absolue que celles des petites.

Détection :

• graphique des résidus (ou de leurs carrés) en fonction de $x$ ou de $\hat{y}$ : une forme en entonnoir est caractéristique ;
• test de Goldfeld-Quandt : on classe les observations selon la variable soupçonnée d'être liée à la variance, on retire quelques observations centrales, on estime le modèle sur le premier et le dernier groupe, puis on compare les sommes des carrés des résidus :

$$F = \frac{SCR_2 / (n_2 - k)}{SCR_1 / (n_1 - k)} \sim \mathcal{F}(n_2 - k ;\, n_1 - k)$$

(le groupe 2 étant celui dont on soupçonne la plus forte variance) ; on rejette l'homoscédasticité si $F$ dépasse la valeur critique ;

• test de White : on régresse les résidus au carré sur les variables explicatives, leurs carrés (et leurs produits) ; la statistique $n \times R^2$ de cette régression auxiliaire suit une loi du $\chi^2$ dont le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de régresseurs de la régression auxiliaire. Le test de Breusch-Pagan repose sur un principe voisin.

Corrections :

• utiliser des écarts-types robustes (de White), qui restent valables en présence d'hétéroscédasticité : c'est la solution la plus courante ;
• moindres carrés pondérés (cas particulier des moindres carrés généralisés) : si la variance est proportionnelle à $x_i^2$, on divise toute l'équation par $x_i$ pour rendre l'erreur homoscédastique ;
• transformer les variables (logarithmes, ratios par habitant ou par employé), ce qui réduit souvent l'hétéroscédasticité.

7.4 L'autocorrélation

Causes : dans une série temporelle, un choc (sécheresse, crise) produit ses effets sur plusieurs périodes ; l'inertie des comportements, une variable omise elle-même autocorrélée ou une mauvaise forme fonctionnelle produisent des erreurs successives de même signe.

Le modèle le plus courant est l'autocorrélation d'ordre 1 :

$$\varepsilon_t = \rho\,\varepsilon_{t-1} + u_t \qquad -1 < \rho < 1$$

Détection :

• graphique des résidus dans l'ordre du temps : de longues séquences de résidus de même signe indiquent une autocorrélation positive ;
• test de Durbin-Watson :

$$\boxed{DW = \frac{\sum_{t=2}^{n} (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2} \approx 2\,(1 - \hat{\rho})}$$

$DW$ est compris entre 0 et 4 : proche de 2, pas d'autocorrélation ; proche de 0, autocorrélation positive ; proche de 4, autocorrélation négative. La table fournit deux bornes $d_L$ et $d_U$ (selon $n$ et le nombre de variables explicatives) :

Valeur de $DW$	Conclusion
$0 < DW < d_L$	Autocorrélation positive
$d_L \le DW \le d_U$	Zone d'incertitude
$d_U < DW < 4 - d_U$	Pas d'autocorrélation
$4 - d_U \le DW \le 4 - d_L$	Zone d'incertitude
$4 - d_L < DW < 4$	Autocorrélation négative

Le test de Durbin-Watson suppose un modèle avec constante et sans variable endogène retardée parmi les explicatives ; on utilise sinon le test de Breusch-Godfrey.

Corrections :

• rechercher d'abord une erreur de spécification (variable omise, forme fonctionnelle, dynamique oubliée) ;
• quasi-différences (méthode de Cochrane-Orcutt) : on estime $\hat{\rho}$, puis on régresse $y_t - \hat{\rho} y_{t-1}$ sur $x_t - \hat{\rho} x_{t-1}$, ce qui élimine l'autocorrélation d'ordre 1 ;
• utiliser des écarts-types robustes à l'hétéroscédasticité et à l'autocorrélation (de Newey-West).

7.5 Méthode : vérifier les hypothèses sur les erreurs

1. Représenter les résidus en fonction de $x$ (coupe) ou du temps (séries temporelles).
2. En coupe, tester l'hétéroscédasticité (Goldfeld-Quandt ou White).
3. En série temporelle, calculer le Durbin-Watson et le comparer à $d_L$ et $d_U$.
4. En cas de problème, vérifier d'abord la spécification, puis corriger (écarts-types robustes, moindres carrés pondérés, quasi-différences).
5. Refaire les tests de Student et de Fisher avec les écarts-types corrigés.

Les pièges à éviter

• Dire que l'hétéroscédasticité ou l'autocorrélation biaisent les coefficients : c'est leur précision et les tests qui sont faussés.
• Interpréter un $DW$ proche de 2 comme une autocorrélation.
• Oublier les zones d'incertitude du test de Durbin-Watson.
• Appliquer le test de Durbin-Watson avec une variable dépendante retardée parmi les explicatives.
• Mettre au dénominateur de Goldfeld-Quandt le groupe à forte variance (le rapport doit être supérieur à 1).