L'hétéroscédasticité et l'autocorrélation
7.1 L'hétéroscédasticité
Violation de H4 : $V(\varepsilon_i) = \sigma_i^2$ varie selon les observations (fréquent en coupe transversale : les grandes entreprises ont des résidus plus dispersés que les petites).
| Conséquences | |
|---|---|
| Estimateurs des MCO | Toujours sans biais mais non efficients (plus BLUE) |
| Écarts-types estimés | Biaisés ➜ tests de Student et de Fisher invalides |
Détection : examen graphique des résidus, test de Goldfeld-Quandt, test de White, test de Breusch-Pagan.
Remèdes : moindres carrés pondérés (MCP/MCG), transformation logarithmique, écarts-types robustes de White.
7.2 L'autocorrélation des erreurs
Violation de H5 : $\text{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}) \neq 0$ (fréquent en séries temporelles). Processus autorégressif d'ordre 1 :
$$\varepsilon_t = \rho\,\varepsilon_{t-1} + u_t \qquad \text{avec} \qquad \lvert \rho \rvert < 1$$
7.3 Le test de Durbin-Watson
$$DW = \frac{\sum_{t=2}^{n} (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2} \approx 2(1 - \hat{\rho})$$
| Valeur de $DW$ | Conclusion |
|---|---|
| $DW \approx 2$ | Absence d'autocorrélation |
| $DW \rightarrow 0$ | Autocorrélation positive |
| $DW \rightarrow 4$ | Autocorrélation négative |
Lecture fine par la table de Durbin-Watson ($d_L$, $d_U$) : $DW < d_L$ ➜ autocorrélation positive ; $DW > d_U$ et $DW < 4 - d_U$ ➜ absence d'autocorrélation ; entre $d_L$ et $d_U$ ➜ zone d'indétermination.
⚠️ Le test de Durbin-Watson est invalide en présence d'une variable endogène retardée parmi les régresseurs : on utilise alors le $h$ de Durbin ou le test de Breusch-Godfrey.
Remèdes : méthode de Cochrane-Orcutt, quasi-différenciation, ou correction de la spécification (l'autocorrélation est souvent le symptôme d'une variable omise ou d'une mauvaise forme fonctionnelle).
Exercice 1
Question — Une régression sur données annuelles (1995-2024) donne $DW = 0{,}68$. Quel problème détectez-vous ? Estimez $\rho$ et indiquez les conséquences ainsi que deux remèdes.
Voir le corrigé
$DW = 0{,}68$, très éloigné de 2 et proche de 0 ➜ autocorrélation positive des erreurs (attendue sur des données annuelles).
Estimation de $\rho$ :
$$\hat{\rho} \approx 1 - \frac{DW}{2} = 1 - 0{,}34 = 0{,}66$$
Autocorrélation positive forte : un choc positif une année tend à se prolonger l'année suivante.
Conséquences : les estimateurs des MCO restent sans biais mais ne sont plus à variance minimale ; surtout, les écarts-types sont sous-estimés, ce qui gonfle artificiellement les $t$ de Student et conduit à conclure à tort à la significativité des variables.
Remèdes : (1) vérifier d'abord la spécification du modèle (variable explicative omise, absence de tendance ou de variable retardée) ; (2) appliquer une procédure de quasi-différenciation type Cochrane-Orcutt ou utiliser des écarts-types robustes (Newey-West).
Exercice 2 — Lire Durbin-Watson et Goldfeld-Quandt
- Pour $n = 25$ et un régresseur, la table donne au seuil de 5 % : $d_L = 1{,}29$ et $d_U = 1{,}45$. Concluez pour $DW$ = 1,10 ; 1,35 ; 1,90 ; 3,20.
- Test de Goldfeld-Quandt : on classe les observations selon $X$ et on estime le modèle sur les deux sous-échantillons extrêmes : $SCR_1 = 12$ (petits $X$) et $SCR_2 = 48$ (grands $X$), avec $F_{table} = 2{,}98$. Concluez.
Voir le corrigé
1) 1,10 < $d_L$ : autocorrélation positive ; 1,35 entre $d_L$ et $d_U$ : zone d'indétermination ; 1,90 entre $d_U$ et $4 - d_U = 2{,}55$ : absence d'autocorrélation ; 3,20 > $4 - d_L = 2{,}71$ : autocorrélation négative.
2) $F = 48 / 12 = 4 > 2{,}98$ : on rejette l'homoscédasticité ; la variance des erreurs augmente avec $X$ (hétéroscédasticité).
L'essentiel — Hétéroscédasticité et autocorrélation
- Hétéroscédasticité : variance des erreurs non constante (fréquent en coupe transversale). Estimateurs sans biais mais non efficients ; écarts-types biaisés → tests invalides.
- Détection : graphique des résidus, Goldfeld-Quandt ($F = SCR_2 / SCR_1$), White, Breusch-Pagan. Remèdes : moindres carrés pondérés, logarithmes, écarts-types robustes de White.
- Autocorrélation (séries temporelles) : $\varepsilon_t = \rho\varepsilon_{t-1} + u_t$.
- Durbin-Watson : $DW \approx 2(1 - \hat{\rho})$ ; ≈ 2 : absence ; → 0 : autocorrélation positive ; → 4 : négative ; zones d'indétermination entre $d_L$ et $d_U$.
- DW est invalide avec une variable endogène retardée (utiliser $h$ de Durbin ou Breusch-Godfrey). Remèdes : Cochrane-Orcutt, Newey-West, revoir la spécification.