Inférence statistique : tests et intervalles

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• connaître la loi des estimateurs sous l'hypothèse de normalité ;
• mener un test de Student sur un coefficient (bilatéral ou unilatéral) ;
• construire un intervalle de confiance pour un coefficient ;
• utiliser la statistique de Fisher et la p-value ;
• calculer une prévision ponctuelle et son intervalle de prévision.

4.1 La loi des estimateurs

Sous l'hypothèse de normalité des erreurs (H6), les estimateurs MCO suivent des lois normales. Comme $\sigma^2$ est inconnu et remplacé par $\hat{\sigma}^2$, les rapports suivants suivent une loi de Student à $n - k$ degrés de liberté ($k = 2$ en régression simple) :

$$\boxed{t = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_j}{\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_j}} \sim \mathcal{T}(n - k)}$$

Pour de grands échantillons ($n - k > 30$), la loi de Student est proche de la loi normale centrée réduite, et l'hypothèse de normalité des erreurs devient moins cruciale (théorème central limite).

4.2 Le test de Student

Test de significativité : la variable $x$ a-t-elle un effet sur $y$ ?

$$H_0 : \beta_1 = 0 \qquad H_1 : \beta_1 \neq 0 \qquad t_{calc} = \frac{\hat{\beta}_1}{\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1}}$$

Règle de décision au seuil $\alpha$ (souvent 5 %) : on rejette $H_0$ si $|t_{calc}| > t_{\alpha/2}(n - k)$, la valeur lue dans la table de Student. On dit alors que le coefficient est significativement différent de zéro : $x$ a un effet significatif sur $y$.

Test d'une valeur particulière : $H_0 : \beta_1 = b_0$ (par exemple une propension marginale à consommer égale à 0,5, ou une élasticité égale à 1) ; on calcule $t = (\hat{\beta}_1 - b_0) / \hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1}$.

Test unilatéral : si la théorie prévoit un signe ($H_1 : \beta_1 > 0$), on rejette $H_0$ si $t_{calc} > t_{\alpha}(n - k)$ (valeur de la table au seuil $\alpha$ et non $\alpha/2$).

Quelques valeurs utiles de la table de Student :

ddl	$t_{0,025}$ (bilatéral 5 %)	$t_{0,05}$ (unilatéral 5 %)
5	2,571	2,015
7	2,365	1,895
8	2,306	1,860
10	2,228	1,812
20	2,086	1,725
30	2,042	1,697
∞	1,960	1,645

Règle pratique : avec un échantillon de taille raisonnable, un coefficient dont le $t$ dépasse 2 en valeur absolue est en général significatif au seuil de 5 %.

4.3 L'intervalle de confiance d'un coefficient

$$\boxed{IC_{1 - \alpha}(\beta_j) = \left[\hat{\beta}_j - t_{\alpha/2}(n - k)\,\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_j} \;;\; \hat{\beta}_j + t_{\alpha/2}(n - k)\,\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_j}\right]}$$

L'intervalle et le test bilatéral sont équivalents : on rejette $H_0 : \beta_j = b_0$ au seuil $\alpha$ si et seulement si $b_0$ n'appartient pas à l'intervalle de confiance au niveau $1 - \alpha$.

4.4 Le test de Fisher et la p-value

Le test de Fisher vérifie la significativité globale du modèle : $H_0$ : tous les coefficients des variables explicatives sont nuls.

$$F = \frac{SCE / (k - 1)}{SCR / (n - k)} \sim \mathcal{F}(k - 1 ;\, n - k)$$

On rejette $H_0$ si $F$ dépasse la valeur de la table de Fisher. En régression simple, $F = t^2$ pour la pente : les deux tests donnent la même conclusion.

La p-value (probabilité critique), donnée par les logiciels, est la probabilité d'obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée si $H_0$ était vraie. On rejette $H_0$ au seuil $\alpha$ si la p-value est inférieure à $\alpha$. Une p-value de 0,003 permet de rejeter $H_0$ à 5 % et à 1 %.

Significativité statistique et importance économique : un coefficient peut être statistiquement significatif mais très petit (effet négligeable), ou non significatif faute de données suffisantes alors que l'effet est important. Il faut toujours interpréter la taille du coefficient.

4.5 La prévision

Pour une valeur $x_0$ de la variable explicative, la prévision ponctuelle est $\hat{y}_0 = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_0$. Sa précision dépend de ce que l'on prévoit :

Prévision	Écart-type estimé	Usage
Valeur moyenne $E(y_0)$	$\hat{\sigma}\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{(x_0 - \bar{x})^2}{S_{xx}}}$	Consommation moyenne des ménages de revenu $x_0$
Valeur individuelle $y_0$	$\hat{\sigma}\sqrt{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{(x_0 - \bar{x})^2}{S_{xx}}}$	Consommation d'un ménage particulier de revenu $x_0$

L'intervalle de prévision est $\hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2}(n - k) \times$ écart-type. Il est plus large pour une valeur individuelle (on ajoute l'incertitude de l'erreur $\varepsilon_0$) et s'élargit quand $x_0$ s'éloigne de $\bar{x}$ : les prévisions hors de l'intervalle des données sont peu fiables.

4.6 Méthode : tester et prévoir

1. Poser clairement $H_0$ et $H_1$ (bilatéral ou unilatéral).
2. Calculer la statistique ($t$ ou $F$) avec les bons écarts-types.
3. Lire la valeur critique avec le bon nombre de degrés de liberté ($n - k$).
4. Conclure (rejet ou non de $H_0$) et interpréter économiquement.
5. Pour une prévision : valeur ponctuelle, écart-type adapté (moyenne ou individuelle), intervalle.

Les pièges à éviter

• Utiliser 1,96 avec un petit échantillon au lieu de la valeur de Student.
• Oublier que le nombre de degrés de liberté est $n - k$ (et non $n$ ou $n - 1$).
• Dire « on accepte $H_0$ » : on dit « on ne rejette pas $H_0$ » (absence de preuve suffisante).
• Confondre intervalle de confiance de la moyenne et intervalle de prévision d'une valeur individuelle.
• Conclure qu'un effet est économiquement important du seul fait qu'il est significatif.