Introduction aux séries temporelles
8.1 Les composantes d'une série
$$X_t = T_t + S_t + C_t + \varepsilon_t \quad \text{(modèle additif)} \qquad ; \qquad X_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t \quad \text{(modèle multiplicatif)}$$
où $T$ est la tendance, $S$ la saisonnalité, $C$ le cycle et $\varepsilon$ l'aléa. On choisit le modèle multiplicatif quand l'amplitude des variations saisonnières croît avec le niveau de la série.
8.2 La stationnarité
Une série est stationnaire (au sens faible) si son espérance, sa variance et ses autocovariances sont indépendantes du temps :
$$E(X_t) = \mu \qquad ; \qquad V(X_t) = \sigma^2 \qquad ; \qquad \text{Cov}(X_t, X_{t-h}) = \gamma_h$$
8.3 La régression fallacieuse
Régresser deux séries non stationnaires l'une sur l'autre produit une régression fallacieuse (spurious regression) : $R^2$ très élevé, $t$ de Student très significatifs, mais relation économiquement vide.
Signal d'alerte : $R^2 > DW$ ➜ forte présomption de régression fallacieuse.
8.4 Le test de Dickey-Fuller (racine unitaire)
$$\Delta X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t \qquad \text{avec} \qquad H_0 : \phi = 0 \; \text{(racine unitaire ➜ série non stationnaire)}$$
On compare la statistique calculée aux valeurs critiques de Dickey-Fuller (et non à celles de Student). Si l'on ne rejette pas $H_0$, la série est non stationnaire : on la différencie ($\Delta X_t = X_t - X_{t-1}$) et l'on teste à nouveau. Une série stationnaire après $d$ différenciations est dite intégrée d'ordre $d$, notée $I(d)$.
Le test ADF (Dickey-Fuller augmenté) ajoute des retards de $\Delta X$ pour purger l'autocorrélation résiduelle.
8.5 La cointégration
Deux séries $I(1)$ sont cointégrées s'il existe une combinaison linéaire de ces séries qui soit $I(0)$ : elles évoluent alors ensemble à long terme. On estime dans ce cas un modèle à correction d'erreur (MCE), qui combine dynamique de court terme et relation d'équilibre de long terme.
Exercice 1
Question — Une régression du PIB sur la consommation (données trimestrielles brutes) donne $R^2 = 0{,}97$ et $DW = 0{,}22$. Faut-il se réjouir de la qualité de l'ajustement ? Quelle démarche adopter ?
Voir le corrigé
Non. Le couple « $R^2$ très élevé + $DW$ très faible » avec $R^2 > DW$ est la signature d'une régression fallacieuse : deux séries non stationnaires partageant une tendance commune apparaissent fortement liées sans qu'une relation économique soit établie.
Démarche à suivre :
- Tester la stationnarité de chaque série par un test de Dickey-Fuller augmenté (ADF).
- Si les deux séries sont $I(1)$, tester la cointégration (test d'Engle-Granger sur les résidus, ou test de Johansen).
- Si elles sont cointégrées, estimer un modèle à correction d'erreur (MCE) distinguant relation de long terme et ajustement de court terme.
- Si elles ne le sont pas, travailler sur les séries différenciées $\Delta X_t$ — ce qui donne une relation de court terme seulement.
Exercice 2 — Stationnarité et ordre d'intégration
- Le test ADF sur la série du PIB en niveau donne une statistique de −1,80 ; la valeur critique à 5 % est −2,89. Conclusion ?
- Sur la série différenciée $\Delta PIB_t$, la statistique vaut −5,20 (valeur critique −2,89). Conclusion ? Quel est l'ordre d'intégration du PIB ?
- Les ventes d'un glacier ont des pics d'été de plus en plus hauts à mesure que l'entreprise grandit. Modèle additif ou multiplicatif ?
Voir le corrigé
1) $-1{,}80 > -2{,}89$ : on ne rejette pas $H_0$ ; le PIB en niveau est non stationnaire.
2) $-5{,}20 < -2{,}89$ : on rejette $H_0$ ; la série différenciée est stationnaire. Le PIB est I(1).
3) Multiplicatif : l'amplitude saisonnière augmente avec le niveau de la série.
L'essentiel — Séries temporelles
- Composantes : tendance, saisonnalité, cycle, aléa ; modèle additif ou multiplicatif (si l'amplitude saisonnière croît avec le niveau).
- Stationnarité : espérance, variance et autocovariances indépendantes du temps.
- Régression fallacieuse entre séries non stationnaires : $R^2$ élevé, $t$ significatifs, relation vide ; alerte si $R^2 > DW$.
- Dickey-Fuller : $H_0$ racine unitaire (non stationnaire) ; valeurs critiques spécifiques (pas celles de Student) ; ADF ajoute des retards.
- Série stationnaire après $d$ différenciations : intégrée d'ordre $d$, $I(d)$.
- Deux séries $I(1)$ cointégrées : combinaison stationnaire → modèle à correction d'erreur.