Introduction aux séries temporelles

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• décomposer une série temporelle en tendance, saisonnalité, cycle et composante aléatoire ;
• distinguer schéma additif et schéma multiplicatif ;
• calculer des moyennes mobiles, des coefficients saisonniers et une série corrigée des variations saisonnières ;
• estimer une tendance et faire une prévision ;
• comprendre la stationnarité, la marche aléatoire, le modèle AR(1) et le risque de régression fallacieuse.

8.1 Les composantes d'une série temporelle

Une série temporelle est une suite d'observations d'une variable à intervalles réguliers (mois, trimestres, années) : PIB trimestriel, indice des prix mensuel, ventes mensuelles, recettes touristiques. On y distingue généralement :

Composante	Description	Exemple
Tendance $T_t$	Évolution de long terme	Croissance régulière des ventes
Cycle $C_t$	Fluctuations pluriannuelles	Phases d'expansion et de ralentissement économique
Saisonnalité $S_t$	Variations qui se répètent chaque année	Pic de consommation pendant le Ramadan, tourisme estival, rentrée scolaire
Composante aléatoire $\varepsilon_t$	Fluctuations irrégulières	Grève, événement climatique

En pratique, on regroupe souvent tendance et cycle. Deux schémas de composition sont utilisés :

• additif : $y_t = T_t + S_t + \varepsilon_t$ ; l'amplitude des variations saisonnières est constante ;
• multiplicatif : $y_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t$ ; l'amplitude saisonnière augmente avec le niveau de la série (on s'y ramène au cas additif en prenant les logarithmes).

8.2 Les moyennes mobiles

Une moyenne mobile remplace chaque observation par la moyenne des observations voisines ; elle lisse la série en éliminant la saisonnalité et une partie de l'aléa. Pour une série trimestrielle, on utilise une moyenne mobile d'ordre 4 centrée (car l'ordre est pair) :

$$MM_t = \frac{1}{4}\left(\frac{y_{t-2}}{2} + y_{t-1} + y_t + y_{t+1} + \frac{y_{t+2}}{2}\right)$$

Pour une série mensuelle, on utilise de même une moyenne mobile centrée d'ordre 12. On perd des observations au début et à la fin de la série.

8.3 Les coefficients saisonniers et la désaisonnalisation

Schéma additif :

1. calculer les écarts $y_t - MM_t$ ;
2. pour chaque trimestre, faire la moyenne de ces écarts : coefficients saisonniers bruts ;
3. les corriger pour que leur somme soit nulle (retrancher la moyenne des coefficients bruts) ;
4. la série corrigée des variations saisonnières (CVS) est $y_t^{CVS} = y_t - S_t$.

Schéma multiplicatif : on utilise les rapports $y_t / MM_t$, on normalise les coefficients pour que leur moyenne soit égale à 1, et $y_t^{CVS} = y_t / S_t$.

La série CVS permet de comparer des périodes successives sans être trompé par la saison : les statistiques conjoncturelles (emploi, production) sont souvent publiées en données CVS.

8.4 La tendance et la prévision

On estime la tendance en régressant la série CVS sur le temps $t = 1, 2, \dots, n$ par les MCO : $\hat{T}_t = \hat{a} + \hat{b}\,t$. La prévision pour une période future $t$ s'obtient en prolongeant la tendance puis en réintroduisant la saisonnalité :

$$\hat{y}_t = \hat{a} + \hat{b}\,t + S_t \quad (\text{additif}) \qquad \hat{y}_t = (\hat{a} + \hat{b}\,t) \times S_t \quad (\text{multiplicatif})$$

D'autres méthodes existent : lissage exponentiel (qui donne plus de poids aux observations récentes), modèles ARIMA.

8.5 La stationnarité

Une série est stationnaire (au sens faible) si sa moyenne, sa variance et ses autocovariances ne dépendent pas du temps : elle fluctue autour d'un niveau constant avec une amplitude stable. Un bruit blanc (suite de variables indépendantes de moyenne nulle et de variance constante) est stationnaire.

Beaucoup de séries économiques (PIB, prix, masse monétaire) ne sont pas stationnaires : elles ont une tendance. On distingue :

• la tendance déterministe : $y_t = a + b\,t + \varepsilon_t$ ; on la stationnarise en retirant la tendance ;
• la marche aléatoire : $y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$ (avec éventuellement une dérive) ; les chocs ont des effets permanents ; on la stationnarise en calculant les différences premières $\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$.

Le modèle AR(1) : $y_t = c + \varphi\,y_{t-1} + \varepsilon_t$ est stationnaire si $|\varphi| < 1$ ; sa moyenne est alors $c / (1 - \varphi)$ et les chocs s'amortissent. Si $\varphi = 1$, on retrouve la marche aléatoire : la série a une racine unitaire.

Le test de Dickey-Fuller teste la présence d'une racine unitaire : on estime $\Delta y_t = \alpha + \gamma\,y_{t-1} + u_t$ et on teste $H_0 : \gamma = 0$ (racine unitaire, non-stationnarité) contre $H_1 : \gamma < 0$. La statistique $t$ de $\hat{\gamma}$ ne suit pas une loi de Student : on la compare aux valeurs critiques spécifiques de Dickey-Fuller (environ − 2,86 au seuil de 5 % pour un modèle avec constante et un grand échantillon). Si la statistique est inférieure à la valeur critique, on rejette la racine unitaire.

8.6 La régression fallacieuse

Régresser l'une sur l'autre deux séries non stationnaires indépendantes (par exemple deux séries qui croissent avec le temps) donne souvent un $R^2$ élevé et des $t$ significatifs, alors qu'il n'existe aucune relation : c'est la régression fallacieuse (Granger et Newbold). Un signal d'alerte est un $R^2$ supérieur à la statistique de Durbin-Watson. Il faut alors travailler sur des séries stationnaires (différences premières) ou vérifier l'existence d'une relation de long terme entre les séries (cointégration).

8.7 Méthode : analyser et prévoir une série saisonnière

1. Représenter la série et identifier tendance et saisonnalité ; choisir le schéma (additif ou multiplicatif).
2. Calculer les moyennes mobiles centrées.
3. Calculer les coefficients saisonniers bruts puis corrigés.
4. Calculer la série CVS et estimer la tendance par les MCO.
5. Prévoir en prolongeant la tendance et en réintroduisant la saisonnalité.

Les pièges à éviter

• Oublier de centrer une moyenne mobile d'ordre pair.
• Oublier de corriger les coefficients saisonniers (somme nulle ou moyenne égale à 1).
• Prévoir à partir de la tendance sans réintroduire la saisonnalité.
• Utiliser les valeurs critiques de Student pour le test de Dickey-Fuller.
• Interpréter un $R^2$ élevé entre deux séries à tendance comme une preuve de relation.