Économétrie, Statistique et Modélisation Appliquées (ESMA)

Université Mohammed V de Rabat — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Souissi

Test d'admission au Master ESMA — Année Universitaire 2017-2018 Durée : 2 heures — N.B. : Chaque partie doit être traitée sur une feuille séparée.

Partie 1 – Macroéconomie

Supposons que l'économie du Maroc comprend une entreprise représentative dont la fonction de production est donnée par : y = f(N) = 2N - (1/2)N², sachant que N est la taille de l'emploi.

1. Écrire le profit de cette entreprise sachant que le prix du bien est P, et que le salaire est W.
2. Déterminer la demande de travail (l'offre d'emploi) de cette entreprise, et commenter.
3. En déduire la taille de production optimale (en volume) du bien produit par cette entreprise, et commenter.
4. Supposons que l'offre totale de travail (la demande totale d'emploi) est exogène, et est donnée par : Nˢ = (W/P). Définir alors la notion d'équilibre du marché du travail, et calculer le salaire réel d'équilibre de cette économie.
5. À cet équilibre général, calculer la production totale (en volume), la masse salariale réelle totale, le total des profits réels (profits déflatés par le prix), et commenter la répartition dans cette économie.

Partie 2 – Microéconomie

La production d'un bien A est possible grâce à une technologie ayant pour fonction de coût total : C(q) = 50 + q², où q est la quantité offerte par une entreprise. La demande du bien A est donnée par : P(Q) = 40 - Q où Q est la quantité offerte par la branche.

1. Comment distingue-t-on entre le court terme et le long terme dans une entreprise ?
2. Déterminez l'équilibre de concurrence de long terme.
3. Déterminez l'équilibre du monopole.
4. Calculez le surplus du consommateur et du producteur à l'équilibre concurrentiel de long terme.
5. Comparez le surplus net à l'équilibre concurrentiel de long terme par rapport à celui du monopole et concluez.
6. Dans quelles conditions un monopole peut être préférable à la concurrence en termes d'efficacité ?

Partie 3 – Statistique

Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire, et X₁, X₂, X₃ sont des variables aléatoires représentant un échantillon de X qui sont de même loi que X et qui sont indépendantes deux à deux. Pour l'estimation de la moyenne m de X, on utilise la fonction suivante : Y = 0,6×X₁ + 0,1×X₂ + α×X₃ avec α ∈ ℝ.

• Quelle est la condition pour que Y soit un estimateur biaisé de la moyenne m de X ?

Exercice 2 : Soit Y une série chronologique, les données de cette série sur quatre trimestres et sur deux années, sont représentées dans le tableau ci-dessous :

Le modèle de cette série est supposé additif : Yₜ = Cₜ + Sᵢ + Eₜ, avec Cₜ = 0,25t + 0,25.

1. Calculer les quatre coefficients saisonniers de cette série.

Partie 4 – Mathématique

Exercice 1 (08 points) : Montrer que l'ensemble E = {(x, y, z) / z = 0} est un sous-espace vectoriel de ℝ³ ?

Exercice 2 (12 points) : Soit f la fonction de deux variables définie par : f(x, y) = xy(1 - x - y)

1. Justifier en une phrase que f est de classe C².
2. Déterminer les points critiques de f.
3. Préciser la nature des points critiques de f.

Corrigé avec calculs détaillés.

Partie 1 — Macroéconomie

1) Profit : Π = P·y - W·N = P·(2N - N²/2) - W·N

2) Demande de travail : condition du premier ordre dΠ/dN = P(2-N) - W = 0 ⟹ N = 2 - W/P* (demande de travail décroissante par rapport au salaire réel w = W/P).

3) Production optimale : en posant w = W/P, N* = 2 - w : y* = 2(2-w) - (1/2)(2-w)² = (2-w)(2+w)/2 = 2 - w²/2 La production optimale est décroissante par rapport au salaire réel.

4) Équilibre du marché du travail : l'équilibre est réalisé lorsque l'offre de travail égalise la demande de travail : Nᵈ = Nˢ. 2 - w = w ⟹ w = W/P = 1* (salaire réel d'équilibre), N* = 1.

5) À l'équilibre général (N=1, w=1) :

• Production totale : y = f(1) = 2(1) - 0,5(1)² = 1,5
• Masse salariale réelle (W·N/P) = w·N = 1
• Profits réels totaux = y - w·N = 1,5 - 1 = 0,5
• Répartition : la masse salariale représente 1/1,5 ≈ 66,7 % du produit, les profits 0,5/1,5 ≈ 33,3 %. La rémunération du travail domine la répartition du produit à cet équilibre.

Partie 2 — Microéconomie

1) Court terme / long terme : au court terme, l'entreprise dispose d'au moins un facteur fixe (capacités, coûts fixes) et peut rester en activité même en perte tant que P ≥ coût variable moyen minimum. Au long terme, tous les facteurs sont variables, il n'y a plus de coûts fixes irrécupérables, et la libre entrée/sortie ramène le profit à zéro.

2) Équilibre concurrentiel de long terme : AC(q) = 50/q + q ; Cm(q) = 2q. Le long terme impose AC = Cm : 50/q + q = 2q ⟹ q² = 50 ⟹ q* = 5√2 ≈ 7,07 Prix d'équilibre : P* = Cm(q*) = 2q* = 10√2 ≈ 14,14 Demande globale : Q* = 40 - P* ≈ 25,86

3) Équilibre de monopole : Recette totale R(Q) = (40-Q)Q = 40Q - Q² ; Rm = 40-2Q ; Cm = 2Q. Rm = Cm ⟹ 40-2Q = 2Q ⟹ Qm = 10, Pm = 30. Profit du monopole = R - C = (40×10-10²) - (50+10²) = 300 - 150 = 150.

4) Surplus en concurrence de long terme : en utilisant P = 40 - Q, on montre que Surplus consommateur CS = Q*²/2 ≈ (25,86)²/2 ≈ 334,3 Profit total (surplus producteur net) ≈ 0 (libre entrée, profit nul au LT). Surplus net total ≈ 334,3

5) Surplus en situation de monopole : CS(monopole) = 0,5×(40-Pm)×Qm = 0,5×10×10 = 50 Recette totale - coût variable (surplus producteur) = 400-100 = 300 ; profit net = 300-50 = 150 Surplus net total (monopole) = 50+150 = 200 (nettement inférieur aux 334,3 de la concurrence).

6) Comparaison et conclusion : le monopole génère une perte sèche de bien-être (200 < 334,3) : il restreint la quantité et fixe un prix supérieur au coût marginal, ce qui est inefficace au sens de Pareto. Le monopole ne peut être préférable que dans des cas particuliers : monopole naturel avec économies d'échelle importantes (coûts moyens décroissants, la concurrence serait non soutenable), nécessité de financer la R&D et l'innovation grâce aux rentes de monopole (thèse schumpétérienne), ou lorsque le monopole est régulé (prix plafonné au coût marginal) tout en bénéficiant des économies d'échelle.

Partie 3 — Statistique

Exercice 1 : E(Y) = (0,6+0,1+α)·m. Y est un estimateur sans biais si et seulement si 0,6+0,1+α = 1, soit α = 0,3. Donc Y est un estimateur biaisé de m si et seulement si α ≠ 0,3.

Exercice 2 : on numérote les 8 observations t = 1..8 (Année1 : T1..T4 → t=1..4 ; Année2 : T1..T4 → t=5..8). Tendance Cₜ = 0,25t+0,25 : C₁=0,5 ; C₂=0,75 ; C₃=1 ; C₄=1,25 ; C₅=1,5 ; C₆=1,75 ; C₇=2 ; C₈=2,25

Résidu saisonnier brut (Yₜ - Cₜ) : t=1 : 0,5-0,5=0 ; t=2 : 1-0,75=0,25 ; t=3 : 0,6-1=-0,4 ; t=4 : 1,5-1,25=0,25 t=5 : 1,1-1,5=-0,4 ; t=6 : 2-1,75=0,25 ; t=7 : 1,3-2=-0,7 ; t=8 : 2,5-2,25=0,25

Moyenne par trimestre : S1 = (0 + (-0,4))/2 = -0,20 S2 = (0,25 + 0,25)/2 = 0,25 S3 = (-0,4 + (-0,7))/2 = -0,55 S4 = (0,25 + 0,25)/2 = 0,25

Somme = -0,20+0,25-0,55+0,25 = -0,25 ≠ 0 (contrainte du modèle additif : Σ Sᵢ = 0). On corrige en retranchant la moyenne (-0,25/4 = -0,0625) : S1 = -0,1375 ; S2 = 0,3125 ; S3 = -0,4875 ; S4 = 0,3125 (somme = 0 ✓)

Partie 4 — Mathématique

Exercice 1 : E = {(x,y,z) ∈ ℝ³ / z=0}.

• (0,0,0) ∈ E (E non vide).
• Pour (x₁,y₁,0),(x₂,y₂,0) ∈ E : leur somme (x₁+x₂,y₁+y₂,0) a bien une 3ᵉ coordonnée nulle, donc appartient à E (stable par addition).
• Pour λ ∈ ℝ et (x,y,0) ∈ E : λ(x,y,0) = (λx,λy,0) ∈ E (stable par multiplication scalaire). Donc E est un sous-espace vectoriel de ℝ³ (c'est le plan xOy).

Exercice 2 : f(x,y) = xy - x²y - xy²

1) f est un polynôme en (x,y), donc f est de classe C∞, en particulier C² (une fonction polynomiale est indéfiniment différentiable).

2) Points critiques : ∂f/∂x = y - 2xy - y² = y(1-2x-y) ∂f/∂y = x - x² - 2xy = x(1-x-2y) En annulant les deux dérivées partielles, on obtient 4 points critiques : (0,0) ; (1,0) ; (0,1) ; (1/3, 1/3)

3) Nature des points critiques (matrice hessienne) : f_xx = -2y ; f_yy = -2x ; f_xy = 1-2x-2y

• En (0,0) : f_xx=0, f_yy=0, f_xy=1 ⟹ det H = -1 < 0 ⟹ point-selle
• En (1,0) : f_xx=0, f_yy=-2, f_xy=-1 ⟹ det H = -1 < 0 ⟹ point-selle
• En (0,1) : f_xx=-2, f_yy=0, f_xy=-1 ⟹ det H = -1 < 0 ⟹ point-selle
• En (1/3,1/3) : f_xx=-2/3, f_yy=-2/3, f_xy=-1/3 ⟹ det H = 4/9-1/9 = 1/3 > 0 et f_xx<0 ⟹ maximum local (valeur f(1/3,1/3) = 1/27)