Finance Islamique et Gestion du Risque (FIGR)

Université Hassan II de Casablanca — FSJES Aïn Sebâa — Département SMAEG

Test écrit du concours d'accès au Master Finance Islamique et Gestion du Risque (FIGR) — 2017/2018

Choisissez la bonne réponse et cochez une case sur la grille de réponses. Si toutes les propositions sont fausses, cochez la case E. Attention : toute réponse fausse sera pénalisée de −0,5 pt.

Épreuve 1 — Mathématiques (algèbre et analyse)

Q1. Soit $B$ une matrice carrée d'ordre $n$ ; on suppose que $B^2$ est une combinaison linéaire de $B$ et $I_n$ : $B^2 = B - I_n$. Alors $B^{-1}$ est égale à :

• a. $B + I_n$ —
• b. $-B - I_n$ —
• c. $-B + I_n$ —
• d. $B - I_n$

Q2. Soit $f(x) = 4x(x^2+1) - 6x\,e^{x^2}$. La primitive de $f$ est :

• a. $x^4 - 2x^2 - 3xe^{x^2}$ —
• b. $x^3 - 2x + 3e^{x^2}$ —
• c. $x^4 + 2x^2 + 3xe^{x^2}$ —
• d. $x^4 + 2x^2 - 3e^{x^2}$

Q3. Parmi ces matrices, déterminer celle qui est inversible :

$$A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3\\ -1 & 4 & 1\\ 1 & -5 & -2\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0\\ -2 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

Q4. On considère le système suivant :

$$(S_m)\ \begin{cases} x + (1+m)y + m^2 z = m\\ x + (1+2m)y + z = m+1\\ x + (1+2m)y + (1+m^2)z = m+2\end{cases}$$

Pour quelles valeurs de $m$ le système $(S_m)$ admet-il une unique solution ?

• a. $m \neq 2$ —
• b. $m \neq \tfrac{1}{2}$ —
• c. $m \neq 1$ —
• d. $m \neq -1$

Q5. On pose $f(x) = \dfrac{e^{3x+x^2}}{x}$, alors $f'(x)$ est :

• a. $(3+2x)\dfrac{e^{3x+x^2}}{x^2}$ —
• b. $(3x+x^2)\dfrac{e^{3x+x^2}}{x^2}$ —
• c. $(2x^2+3x-1)\dfrac{e^{3x+x^2}}{x^2}$ —
• d. $(-2x^2+1)\dfrac{e^{3x+x^2}}{x^2}$

Q6. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_4(\mathbb{R})$ telles que $\det(A) = \alpha - 1$ et $\det(B) = \alpha^2$, $(\alpha \in \mathbb{R}^*)$. Alors $\det(\alpha B A^{t} B^{-1})$ est égal à :

• a. $-\alpha^2 - \alpha$ —
• b. $\alpha^5 - \alpha^4$ —
• c. $\alpha^2$ —
• d. $\dfrac{-\alpha+1}{\alpha^2}$

Q7. Soit $f(x,y) = \ln(2x+2y-2)$, alors $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ est égale à :

• a. $\dfrac{-1}{2x+2y-2}$ —
• b. $\dfrac{-1}{(x+y-1)^2}$ —
• c. $\dfrac{2x+y}{(x+y-1)^2}$ —
• d. $2\ln(2x+2y-2)$

Q8. Soit $f(x,y) = \dfrac{\ln x^2}{\sqrt{y}}$, alors $D_f$ est :

• a. $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$ —
• b. $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}^*$ —
• c. $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^*$ —
• d. $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}_+^*$

Q9. La fonction $f(x) = x^2 e^{-x}$ admet un maximum local au point :

• a. $0$ —
• b. $2$ —
• c. $-2$ —
• d. $-1$

Q10. Soient $B$ une matrice carrée d'ordre 3 et $P_B = -(x+2)(x^2-2)$ son polynôme caractéristique. Alors $\det(B)$ est égal à :

• a. $2$ —
• b. $0$ —
• c. $-2$ —
• d. $4$

Q11. Soit $f(x,y) = 2x^2 + xy + (y-7)^2$, alors : (l'exposant du premier terme est peu lisible sur le scan ; seule la lecture $2x^2$ rend le point $I=(-2,8)$ effectivement critique — voir le corrigé)

• a. $f$ admet un minimum local en $I$ —
• b. Le point $I = (-2,8)$ est un point critique de $f$ —
• c. $f$ admet un maximum local en $I$ —
• d. $f$ admet un point selle en $I$

♠ Dans ce qui suit, on considère la matrice suivante :

$$A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3\\ 3 & -5 & -4\\ -3 & 4 & 3\end{pmatrix}$$

Q12. Le polynôme caractéristique de $A$ est égal à :

• a. $-(x+1)(x-1)(x-2)$ —
• b. $-(x-2)(x+1)^2$ —
• c. $-x(x-2)(x+1)$ —
• d. $-(x+1)(x-2)^2$

Q13. Soit $H$ la matrice définie par $H = A + I_3$. Le rang de la matrice $H$ est :

• a. 0 —
• b. 3 —
• c. 1 —
• d. 2

Q14. La matrice $A$ est nécessairement :

• a. antisymétrique —
• b. diagonale —
• c. symétrique —
• d. diagonalisable

Épreuve 2 — Algèbre

Q1. La matrice $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 0 & -1\\ -3 & -1 & 0\end{pmatrix}$ est nécessairement :

• a. diagonale —
• b. triangulaire supérieure —
• c. antisymétrique —
• d. symétrique

Q2. Soit $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$. Alors :

• a. $\mathrm{rang}(M) = -1$ —
• b. $\mathrm{rang}(M) = 0$ —
• c. $\mathrm{rang}(M) = 1$ —
• d. $\mathrm{rang}(M) = 2$

Q3. Parmi ces matrices, déterminer celle qui est inversible :

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 2 & -1\\ -2 & -1 & -1\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Q4. Soit $B$ une matrice carrée d'ordre $n$ ; on suppose que $B^2$ est une combinaison linéaire de $B$ et $I_n$ : $B^2 = 6B + 2I_n$. Alors $B^{-1}$ est égale à :

• a. $-\tfrac{1}{2}B - 3I_n$ —
• b. $-\tfrac{1}{2}B + 3I_n$ —
• c. $\tfrac{1}{2}B + 3I_n$ —
• d. $\tfrac{1}{2}B - 3I_n$

Q5. Soient $A$, $B$ et $P$ trois matrices de $M_4(\mathbb{R})$ telles que $A = PBP^{-1}$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

• a. $A^n = B^n$ —
• b. $A^n = P^n B P^{-n}$ —
• c. $A^n = P^n B^n P^{-n}$ —
• d. $A^n = B$

Q6. Soit $B = M^3 - I_n$ avec $M \in M_n(\mathbb{R})$ antisymétrique (c-à-d $M^t = -M$). Alors $B^t$ est égale à :

• a. $-M^3 - I_n$ —
• b. $M^3 - I_n$ —
• c. $M^3 + I_n$ —
• d. $-M^3 + I_n$

Q7. On considère le système suivant :

$$(S_m)\ \begin{cases} -x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 2\\ 4x_1 - 2x_2 + 20x_3 = m\\ -x_1 + 8x_2 + 7x_3 = 6\end{cases}$$

Pour quelle valeur de $m$ le système $(S_m)$ admet une infinité de solutions ?

• a. $m = -1$ —
• b. $m = 0$ —
• c. $m = 1$ —
• d. $m = 2$

Q8. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_4(\mathbb{R})$ telles que $\det(A) = \alpha$ et $\det(B) = \alpha^2 + 1$ $(\alpha \in \mathbb{R})$. Alors pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\det(\lambda A B^{-1})$ est égal à :

• a. $\dfrac{\lambda^4 \alpha}{\alpha^2+1}$ —
• b. $\dfrac{\lambda \alpha}{\alpha^2+1}$ —
• c. $\lambda\alpha(\alpha^2+1)$ —
• d. $\lambda$

♠ Dans ce qui suit, on considère la matrice suivante :

$$A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\ -1 & 2 & -1\\ 2 & -2 & 3\end{pmatrix}$$

Q9. Le polynôme caractéristique de $A$ est égal à :

• a. $-(x-1)(x+2)^2$ —
• b. $-x(x-1)(x-2)$ —
• c. $-x(x-2)(x+1)$ —
• d. $-(x-2)(x-1)^2$

Q10. Le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 de $A$ est :

• a. $\left\langle \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right\rangle$ —
• b. $\left\langle \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right\rangle$ —
• c. $\left\langle \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\right\rangle$ —
• d. $\left\langle \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\right\rangle$

Bon courage

Épreuve 3 — Finance islamique (entourer la bonne réponse)

1. Dans quel type de contrat de banque islamique le paiement se fait-il en avance et la livraison à terme ?

• a. Mourabaha —
• b. Salam —
• c. Ijara

2. Le gain réalisé par la banque islamique au niveau de la Mourabaha est appelé :

• a. Intérêt islamique —
• b. Bénéfice Mourabaha —
• c. Marge Mourabaha

3. Lequel des contrats islamiques est similaire au crédit-bail ?

• a. Sukuk —
• b. Mourabaha —
• c. Ijara

4. Pour une personne qui ne dispose pas de capital pour financer son projet, mais peut contribuer par son travail, il convient d'opter pour :

• a. Moucharaka fixe —
• b. Moucharaka dégressive —
• c. Moudaraba

5. Lequel entre ces contrats de banque islamique est considéré comme étant participatif :

• a. Moucharaka —
• b. Mourabaha —
• c. Salam

6. Quel est le produit bancaire islamique qui correspond le plus aux investissements industriels ?

• a. Salam —
• b. Quard hassan —
• c. Istisnaa

7. Quelle est la principale caractéristique de l'assurance islamique :

• a. Contribution des assurés sans aucun rendement de leurs fonds —
• b. Séparation entre deux fonds « takaful » et « investissement » —
• c. Une couverture du risque élevée

8. Quel est le produit bancaire islamique qui ressemble le plus à une obligation ?

• a. Ijar —
• b. Moucharaka dégressive —
• c. Sukuk

9. Quelle différence existe-t-il entre sukuks et actions ?

• a. Dans les sukuks, il n'y a pas de bénéfices —
• b. Les sukuks ne donnent pas droit à une participation au capital de la société —
• c. Dans les sukuks, il n'y a pas de partage de risque

10. Par quelle caractéristique se distingue la finance islamique de la finance conventionnelle ?

• a. Respect de la morale et de l'éthique —
• b. Valorisation du capital humain —
• c. Niveau réduit de bénéfices réalisés

11. Quelle était la première localisation de la banque islamique ?

• a. Malaisie —
• b. Arabie saoudite —
• c. Égypte

12. Quel était le premier pays non musulman à avoir adopté la banque islamique ?

• a. USA —
• b. Royaume-Uni —
• c. France

13. Le takaful repose sur le principe suivant :

• a. Une couverture plus élevée du risque —
• b. La dissociation entre capital-assurance et capital-entreprise —
• c. Une diversité des champs d'assurance

14. La Moucharaka peut être définie comme étant :

• a. une association entre deux ou plusieurs parties dans le capital d'une entreprise, avec un partage des pertes et bénéfices —
• b. un contrat d'entreprise en vertu duquel une partie demande à une autre de lui fabriquer un ouvrage moyennant une rémunération payable d'avance, de manière fractionnée ou à terme —
• c. un partenariat d'investissement où la banque joue le rôle de l'investisseur en s'engageant à financer intégralement le projet, l'entrepreneur devant assurer la gestion du projet

15. La Mourabaha peut être définie comme suit :

• a. un contrat de vente avec livraison différée de la marchandise —
• b. un contrat de vente au prix de revient majoré d'une marge bénéficiaire connue et convenue entre l'acheteur et le vendeur —
• c. un contrat de location de biens assorti d'une promesse de vente au profit du locataire

16. L'interdiction du Gharar signifie :

• a. Tout musulman ne peut traiter des biens jugés illicites ou Haram —
• b. La participation doit être fixée dans une proportion et non par un bénéfice à la signature du contrat —
• c. la vente ne doit porter sur une marchandise qui n'est pas déterminée de façon précise

(NB : la page source diffuse également une épreuve de probabilités-statistiques non identifiée par un en-tête ; elle n'a pas été reprise ici car elle correspond vraisemblablement au concours Actuariat et Finance de marchés de la même session.)

Corrigé indicatif rédigé par SaadConcours à partir des scans : il n'émane pas de la FSJES Aïn Sebâa et n'a pas été relu par un enseignant. Chaque mauvaise réponse coûte −0,5 pt et le sujet prévoit explicitement une case E « toutes les propositions sont fausses » — plusieurs questions ci-dessous tombent effectivement dans ce cas. Refais chaque calcul.

Le scan de l'épreuve de mathématiques est flou par endroits : les questions dont la lecture est incertaine sont signalées.

Épreuve 1 — Mathématiques

Q1 — C. $-B + I_n$. De $B^2 = B - I_n$ on tire $B^2 - B = -I_n$, soit $B(B - I_n) = -I_n$, donc $B(I_n - B) = I_n$ et $B^{-1} = I_n - B = -B + I_n$.

Q2 — D. $x^4 + 2x^2 - 3e^{x^2}$. En développant, $f(x) = 4x^3 + 4x - 6x\,e^{x^2}$. Or $\int 4x^3 = x^4$, $\int 4x = 2x^2$ et $\int 6x e^{x^2} = 3e^{x^2}$ (car $(e^{x^2})' = 2x e^{x^2}$).

Q3 — A. $\det A = 2(4\cdot(-2) - 1\cdot(-5)) + 3((-1)(-2) - 1) - 3((-1)(-5) - 4) = -6 + 3 - 3 = -6 \neq 0$ : $A$ est inversible. La matrice B n'est pas carrée (3 lignes, 2 colonnes) donc non inversible par nature. (Les matrices C et D sont mal lisibles sur le scan — vérifie-les sur ta copie.)

Q4 — E (aucune proposition) : la condition est $m \neq 0$.
En soustrayant la 1ʳᵉ ligne de la 2ᵉ puis la 2ᵉ de la 3ᵉ, la matrice du système devient triangulaire :

L1      : ( 1   1+m    m²   )
L2 − L1 : ( 0    m    1−m²  )
L3 − L2 : ( 0    0     m²   )

Le déterminant vaut donc $1 \times m \times m^2 = m^3$. Le système admet une solution unique si et seulement si $m^3 \neq 0$, c'est-à-dire $m \neq 0$ — valeur absente des quatre propositions.

Q5 — C. $(2x^2+3x-1)\dfrac{e^{3x+x^2}}{x^2}$. Dérivée d'un quotient :
$f'(x) = \dfrac{(3+2x)e^{3x+x^2}\cdot x - e^{3x+x^2}}{x^2} = \dfrac{\big[(3+2x)x - 1\big]e^{3x+x^2}}{x^2} = \dfrac{(2x^2+3x-1)e^{3x+x^2}}{x^2}$.

Q6 — B. $\alpha^5 - \alpha^4$. Pour une matrice $4\times4$, $\det(\lambda M) = \lambda^4 \det(M)$. Par ailleurs $\det(BA^tB^{-1}) = \det(B)\det(A^t)\det(B)^{-1} = \det(A)$ (similitude). D'où
$\det(\alpha BA^tB^{-1}) = \alpha^4(\alpha - 1) = \alpha^5 - \alpha^4$.

Q7 — B. $\dfrac{-1}{(x+y-1)^2}$.
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2}{2x+2y-2} = \dfrac{1}{x+y-1}$, puis $\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{1}{x+y-1}\right) = \dfrac{-1}{(x+y-1)^2}$.

Q8 — D. $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}_+^*$. $\ln(x^2)$ exige $x^2 > 0$, soit $x \neq 0$ ; $\sqrt{y}$ au dénominateur exige $y > 0$ strictement.

Q9 — B. $x = 2$. $f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$, qui s'annule en $0$ et $2$. Le signe de $f'$ est $-$ sur $]-\infty;0[$, $+$ sur $]0;2[$, $-$ sur $]2;+\infty[$ : $x=0$ est un minimum local et $x=2$ un maximum local.

Q10 — D. 4. Pour toute matrice $B$, $\det(B) = P_B(0)$. Ici $P_B(0) = -(0+2)(0-2) = -(2)(-2) = 4$.

Q11 — A et B. Avec $f(x,y) = 2x^2 + xy + (y-7)^2$ :
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 4x + y$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x + 2(y-7)$. En $I = (-2, 8)$ : $4(-2)+8 = 0$ et $-2 + 2(1) = 0$ → $I$ est bien un point critique (B vraie).
Matrice hessienne : $\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, de déterminant $8 - 1 = 7 > 0$ avec $f''_{xx} = 4 > 0$ → minimum local (A vraie).
Attention : si le premier terme est bien $2x^3$ (lecture alternative du scan), le gradient ne s'annule nulle part et la question n'a pas de réponse. Seule la lecture $2x^2$ est cohérente.

Q12 — B. $-(x-2)(x+1)^2$. Pour une matrice $3\times3$, $P_A(x) = -x^3 + \mathrm{tr}(A)x^2 - (\text{somme des mineurs principaux d'ordre 2})\,x + \det(A)$.

tr(A)                     = 2 − 5 + 3 = 0
mineurs principaux d'ordre 2 : 1 + (−3) + (−1) = −3
det(A)                    = 2
P_A(x) = −x³ + 0·x² + 3x + 2 = −(x³ − 3x − 2) = −(x+1)²(x−2)

Les valeurs propres sont donc $-1$ (double) et $2$.

Q13 — D. 2. $H = A + I_3 = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3\\ 3 & -4 & -4\\ -3 & 4 & 4\end{pmatrix}$. La troisième ligne est l'opposée de la deuxième ($L_3 = -L_2$) et les deux premières sont indépendantes → $\mathrm{rang}(H) = 2$.

Q14 — E (aucune proposition). $A$ n'est ni symétrique, ni antisymétrique, ni diagonale. Et elle n'est pas diagonalisable : la valeur propre $-1$ est de multiplicité algébrique 2 (Q12) mais $\dim\ker(A + I_3) = 3 - \mathrm{rang}(H) = 3 - 2 = 1$ (Q13), donc de multiplicité géométrique 1. La condition « multiplicité géométrique = multiplicité algébrique » n'est pas satisfaite.

Épreuve 2 — Algèbre

Q1 — E (aucune proposition), telle que la matrice est transcrite. $D$ n'est ni diagonale, ni triangulaire supérieure, ni symétrique ($d_{12} = 2$ mais $d_{21} = -2$). Pour être antisymétrique il faudrait $d_{11} = 0$ (le scan porte 1) et $d_{32} = +1$ (le scan porte $-1$). L'intention manifeste du sujet est C. antisymétrique — vérifie ces deux coefficients sur ta copie.

Q2 — C. $\mathrm{rang}(M) = 1$. Les deux lignes de $M$ sont identiques et non nulles : l'image est une droite.

Q3 — A. $\det A = 1\big(2(-1) - (-1)(-1)\big) - 2\big((-2)(-1) - (-1)(-2)\big) + 3\big((-2)(-1) - 2(-2)\big) = -3 - 0 + 18 = 15 \neq 0$.
B a une ligne entièrement nulle (déterminant nul) ; C et D ne sont pas carrées.

Q4 — D. $\tfrac{1}{2}B - 3I_n$. De $B^2 = 6B + 2I_n$ : $B^2 - 6B = 2I_n$, soit $B(B - 6I_n) = 2I_n$, donc $B \cdot \tfrac{1}{2}(B - 6I_n) = I_n$ et $B^{-1} = \tfrac{1}{2}B - 3I_n$.

Q5 — E (aucune proposition) : la bonne formule est $A^n = PB^nP^{-1}$.
$A^2 = PBP^{-1}\cdot PBP^{-1} = PB^2P^{-1}$, et par récurrence $A^n = PB^nP^{-1}$. Les puissances de $P$ ne s'accumulent pas : les termes $P^{-1}P$ se simplifient à chaque étape.

Q6 — A. $-M^3 - I_n$. $B^t = (M^3)^t - I_n^t = (M^t)^3 - I_n = (-M)^3 - I_n = -M^3 - I_n$.

Q7 — E, avec les coefficients lisibles sur le scan. En éliminant $x_1$ :

L1          : ( −1    3     3  ) = 2
L2 + 4·L1   : (  0   10    32  ) = m + 8
L3 − L1     : (  0    5     4  ) = 4
det = (−1) × (10×4 − 32×5) = (−1)(−120) = 120 ≠ 0

Le déterminant étant non nul quelle que soit la valeur de $m$, le système admet toujours une solution unique : il n'admet jamais une infinité de solutions. Un système $3\times3$ n'a une infinité de solutions que si son déterminant est nul et le second membre compatible. (Le signe devant $3x_3$ dans la première ligne est masqué par le filigrane de la source ; avec un « − » le déterminant vaut $-60$, donc également non nul. Vérifie ces coefficients sur ta copie.)

Q8 — A. $\dfrac{\lambda^4 \alpha}{\alpha^2+1}$. Pour des matrices $4\times4$ :
$\det(\lambda AB^{-1}) = \lambda^4 \det(A)\det(B^{-1}) = \dfrac{\lambda^4 \alpha}{\alpha^2 + 1}$.

Q9 — D. $-(x-2)(x-1)^2$.

tr(A)                        = −1 + 2 + 3 = 4
mineurs principaux d'ordre 2 : 4 + 1 + 0 = 5
det(A)                       = 2
P_A(x) = −x³ + 4x² − 5x + 2 = −(x−1)²(x−2)

Q10 — C. $\left\langle (2 ; 1 ; -2)\right\rangle$. On résout $(A - 2I_3)v = 0$ avec $A - 2I_3 = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -2\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 1\end{pmatrix}$ :

L2 : −x − z = 0        → z = −x
L1 : −3x + 2y − 2z = 0 → −3x + 2y + 2x = 0 → x = 2y

D'où $v = y\,(2 ; 1 ; -2)$.

Épreuve 3 — Finance islamique